Antes de decir algo más, voy a suponer que nos referimos a Langlands clásico, no Langlands geométricos.
Mi comprensión de Langlands es superficial, pero puedo describir lo que creo que es la mejor manera de avanzar a las declaraciones principales. Primero, creo que la respuesta a esta pregunta depende en gran medida de la experiencia que ya tenga con la teoría de números y la teoría de representación. Parafraseando a Benedict Gross, Langlands es un “diccionario que traduce estos dos idiomas entre sí”. Es posible que no sea posible “tener una idea” de este tema dentro de unas pocas semanas si las bases no están allí.
Prerrequisitos. Con respecto a la teoría de números, uno debe conocer los campos locales, los campos globales y la teoría de campos de clase, a nivel de los libros de Cassels-Frohlich o Neukirch (tiene dos libros sobre teoría de campos de clase; prefiero el texto “Bonn Lectures”) o las notas de Milne . También es útil conocer datos básicos sobre formas modulares y funciones [matemáticas] L [/ matemáticas], por ejemplo, de Diamond-Shurman. Con respecto a la teoría de la representación, uno debe saber acerca de las representaciones de grupos finitos y grupos de Lie, a nivel de Fulton-Harris. Personalmente, aprendí sobre las repeticiones de grupos finitos de las Representaciones lineales de grupos finitos de Serre. Para entender Langlands en general, sin embargo, necesitas saber algo sobre los grupos algebraicos. No puedo decir mucho aquí, todavía estoy aprendiendo sobre ellos, pero el libro de Borel y las notas de Milne parecen ser buenas.
Langlands en sí. Los dos lados de Langlands son 1) teoría de representación lineal de grupos reductores y 2) clases de conjugación de representaciones de Galois, no necesariamente “lineal” (no necesariamente en [math] \ mathrm {GL} _n [/ math]).
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- Noté que cuando tomo 2 números primos consecutivos (digamos [math] p [/ math] y [math] q [/ math]), la diferencia entre [math] pq [/ math] y [math] \ lceil \ sqrt {pq} \ \ rceil ^ 2 [/ math] siempre parece ser un cuadrado perfecto. ¿Es esto cierto? ¿Y por qué?
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Las otras personas que respondieron han publicado enlaces a algunas buenas referencias. En particular, el artículo del Boletín
http://www.ams.org/journals/bull…
se amplía con el libro de texto, Una Introducción al Programa Langlands editado por Bernstein-Gelbart, que es casi seguro el mejor lugar para comenzar con las declaraciones reales. Este libro también presenta la tesis de Tate, que es la base para el punto de vista adelicista tomado en el Programa Langlands y la teoría de números en general. A continuación, podemos ver las Conferencias Eilenberg 2011 de Benedict Gross,
Conferencias Eilenberg – Otoño 2011 (Benedict Gross)
que se centran en la imagen de los campos locales. Desde el primer video, aprendí lo siguiente.
– Esta es la conjetura de Langlands local “aproximada”: Arreglando un campo local [matemático] K [/ matemático] y un grupo reductor [matemático] G [/ matemático], las representaciones complejas irreductibles de [matemático] G (K) [/ matemática] debe corresponder a las clases de conjugación de (cts) homs [matemática] \ matemática {Gal} (\ bar {K} / K) \ a {^ L} G [/ matemática], donde [matemática] {^ L} G [/ math] es el dual de Langlands de G, un grupo sobre [math] \ mathbb {C} [/ math], de una manera funcional con respecto a varias operaciones en representantes como tensor, inflación, inducción, así como base -cambiar de [matemáticas] K [/ matemáticas]. Cuando uno aprende por primera vez las declaraciones, generalmente tomamos [math] G = \ mathrm {GL} _n [/ math], en cuyo caso [math] {^ L} G = \ mathrm {GL} _n (\ mathbb {C} )[/matemáticas].
– La conjetura “aproximada” es falsa. Una razón trivial es que si [math] K = \ mathbb {R} [/ math] o [math] \ mathbb {C} [/ math], entonces [math] \ mathrm {Gal} (\ bar {K} / K) [/ math] es demasiado pequeño. Las siguientes modificaciones deberían hacer válida la conjetura:
– 1) Reemplace el grupo Galois con el grupo Weil-Deligne de [math] K [/ math]. No entiendo esto bien, pero tiene que ver con poder alcanzar las clases de conjugación no semisimple en [matemáticas] {^ L} G [/ matemáticas].
– 2) La correspondencia no es una biyección. Cada clase de conjugación de hom del grupo Weil-Deligne, llamada parámetro Langlands , en realidad corresponde a un conjunto finito de irreps de [math] G [/ math], llamado paquete L.
En la conjetura de Langlands “global”, uno arregla un campo global [matemática] K [/ matemática], lo que significa una extensión finita de [matemática] \ mathbb {Q} [/ matemática] o un campo de la forma [matemática] \ mathbb {F} _q (T) [/ math]. La correspondencia es entre los irreps automorfos (?) Cúspides de [math] G (\ mathbb {A} _K) [/ math], donde [math] \ mathbb {A} _K [/ math] son las clases de adeles y conjugacy de homs de [math] L (K) [/ math], donde [math] L (K) [/ math] es un misterioso objeto (¿conjetural?) llamado “grupo Langlands” que debe imitar las propiedades de Weil -Deligne grupo del caso local.
El cuadro histórico. Langlands puede considerarse la generalización más amplia hasta la fecha del “Teorema de oro” de Gauss – reciprocidad cuadrática – conjeturada por Euler y probada por primera vez por Gauss en sus Disquisitiones Arithmeticae (1801) . El Programa Langlands comenzó con una carta que Robert Langlands escribió a André Weil en 1967 (que no he leído):
http://publications.ias.edu/rpl/…
Como Simon mencionó en su respuesta, el marco de Langlands pone la teoría de campo de clase como el caso unidimensional:
¿Por qué es Class Field Theory lo mismo que Langlands para GL_1?
El progreso hacia las conjeturas bidimensionales se realizó en las “Formas automórficas de Jacquet-Langlands en [math] \ mathrm {GL} (2) [/ math]” (1970), y más adelante en el trabajo de Wiles en Taniyama-Shimura:
¿En qué sentido es Taniyama-Shimura el caso $ n = 2 $ de Langlands?
En 1998-2002, Lafforgue demostró Langlands global para [math] \ mathrm {GL} (n) [/ math] sobre campos de funciones algebraicas. Anteriormente, Drinfeld había resuelto el caso [math] \ mathrm {GL} (2) [/ math] en 1974 (a la edad de 20 años).
En “La geometría y la cohomología de algunas variedades simples de Shimura” (2001), Harris-Taylor demostró Langlands local para [math] \ mathrm {GL} (n) [/ math] en general, utilizando métodos “globales”.
Para los comentaristas: cualquier corrección o crítica de lo que he escrito es apreciada.