¿Hay alguna razón matemática por la cual 12 = 3 × 4 (1234) y 56 = 7 * 8 (5678)? ¿Hay alguna forma de calcular si hay otros números que siguen la regla (abcd / ab = c * d)?

Answer 1

Es fácil demostrar que (1,2,3,4) y (5,6,7,8) son los únicos conjuntos que siguen esa regla.

Puedes escribir más formalmente la ecuación como:
[matemáticas] 10a + b = c \ cdot d [/ matemáticas]
dónde
[matemáticas] b = a + 1, c = a + 2, d = a + 3 [/ matemáticas]
entonces
[matemáticas] 10a + (a + 1) = (a + 2) (a + 3) [/ matemáticas]

Resolviendo la ecuación, eso se puede simplificar resultando en:
[matemáticas] a ^ 2-6a + 5 = 0 [/ matemáticas]
obtienes que los únicos valores posibles para [math] a [/ math] son ​​1 y 5.

Puede ver fácilmente esto pensando que [matemáticas] a ^ 2-6a + 5 = (a-1) (a-5) [/ matemáticas].

Ok, descargo de responsabilidad: este razonamiento funciona si a, b, c, d son números de 1 dígito.
No estoy seguro de cómo esto se generalizaría en números más grandes (o más bien, cómo le gustaría generalizarlo).
Generalizar la regla a conjuntos más grandes de un solo dígito (abc = d * e * f, etc.) tampoco parece trivial.

Answer 2

Esto es una casualidad del hecho de que operamos en la base 10. En cualquier otra base numérica, esto no sería cierto y no habría ninguna solución que se ajuste a este patrón *. Sin embargo, si usa la base 22, entonces
[matemáticas] 24_ {22} = 6 * 8 [/ matemáticas]

o en la base 32,
[matemáticas] 13_ {32} = 5 * 7 [/ matemáticas]

Puede encontrar muchas otras soluciones como esta utilizando diferentes bases de números.

* Para probarlo por ti mismo, observa que usando la fórmula de Leonardo Taccari en su respuesta, debes cambiar [matemática] 10a [/ matemática] a cualquiera que sea tu base de números por a. Eso dará como resultado un cambio en el coeficiente lineal de la ecuación cuadrática final. Sin embargo, no habrá una solución entera positiva para ese polinomio si ese coeficiente no es -6.

Answer 3

Como dice Daniel: esto es una casualidad.

Me gustaría animarlo a que busque más platijas. Puede ser muy gratificante descubrir que el sistema numérico produce cualquier cantidad de estas pequeñas cosas bonitas. Por otra parte, también hay muchos vínculos profundos presentes en las matemáticas. ¿Cuáles son las casualidades dependientes de nuestro sistema de números y cuáles son un signo de algo más profundo?

El sistema numérico es un sistema cerrado. Solo hay muchas operaciones que podemos realizar con solo unos pocos números. Por supuesto, el número de números es infinito, pero todos se siguen en una fila ordenada. Seguramente habrá patrones. Incluso si un patrón no es inmediatamente obvio para nosotros, puede que no esté sucediendo nada especial.

Solo que, a veces, hay …

Answer 4

Es una enfermedad que afecta a personas que usan solo una base o un idioma. Piensan que hay algo místico en el patrón o combinación de letras y que esto debería aplicarse en todas partes.

He visto personas haciendo numerología en cosas como la expansión decimal de las constantes atómicas en unidades SI, cuando, por ejemplo, el mol no es 6.02E23 / gram-mole, sino, por ejemplo, 273.16E24 daltons por libra.