¿Cuál es la conexión entre la distribución de números primos y el comportamiento de las partículas subatómicas?

Answer 1

No sé si esto realmente responde a la pregunta original, pero hay una buena razón por la cual (¿algunos? ¿Muchos?) Los teóricos de los números creen que la aparición de matrices aleatorias al estudiar la función zeta de Riemann no es una coincidencia. Hilbert y Polya creyeron una vez que una posible estrategia para atacar la Hipótesis de Riemann era encontrar algún tipo de interpretación “espectral” para los ceros de zeta; a saber, para encontrar algún tipo de operador autoadjunto cuyos valores propios fueran los ceros de la función zeta de Riemann.

Además de la evidencia numérica ahora extensa que muestra el ajuste muy preciso del espaciado de ceros de zeta a la distribución de valores propios de familias de matrices aleatorias, se ha realizado una considerable cantidad de investigación para comprender cómo las matrices aleatorias están relacionadas con generalizaciones de la función zeta de Riemann , conocidas como funciones L. Un tema general de la teoría de números moderna es estudiar los objetos no necesariamente como individuos, sino en familias (lo que sea que eso signifique).

Entonces, uno podría preguntarse si ciertas familias de funciones L tienen ceros cuyas distribuciones de espaciamiento surgen de distribuciones de valores propios de conjuntos de matrices aleatorias. Hace aproximadamente una década, Nicholas Katz y Peter Sarnak dieron pruebas de tales fenómenos para las funciones zeta que surgen de la geometría algebraica. Allí, tenían la extensa maquinaria de la geometría algebraica (en la cual Pierre Deligne había probado el análogo de la hipótesis de Riemann) para trabajar. Encuentran una interpretación espectral de esos ceros, como valores propios del “mapa de Frobenius” que actúa en ciertos espacios (complicados).

Obviamente, no se ha encontrado una prueba análoga en el caso de la función zeta de Riemann original y sus familias asociadas. Pero la explicación de este fenómeno en el caso que surge de la geometría algebraica junto con la evidencia numérica compilada para zeta y sus parientes indican que probablemente está sucediendo algo muy profundo aquí. No hay duda de que comprender completamente lo que está sucediendo aquí será un avance tremendo en la teoría de números.

Una de las mejores introducciones a lo anterior, si conoce un poco de matemática, es el artículo de la encuesta escrito por Katz y Sarnak, que está disponible en http://www.ams.org/journals/bull….

Answer 2

Aquí hay una pequeña respuesta para elaborar:

La conjetura de Montgomery postula que la correlación de pares entre ceros de la función Zeta de Riemann (de la parte real 1/2) sigue una cierta expresión matemática que sucede (señalada por F. Dyson) que es la de matrices Hermitianas aleatorias. La correlación de pares de los ceros está relacionada con la probabilidad de que los ceros estén muy juntos (cerca en el sentido de la norma habitual en C), mientras que la correlación de pares de las matrices Hermitianas aleatorias está relacionada con la probabilidad de que sus valores propios sean cercanos juntos.

Las matrices Hermitianas aleatorias se usan a menudo en física cuántica y semiclásica (en física del estado sólido, por ejemplo, ver Phys. Rev. B 74, 075322 (2006)) para describir fenómenos caóticos. Sin embargo, en los usos que conozco, generalmente no se usa la correlación de pares sino otras propiedades (corrección cero). En un sistema dinámico descrito por la teoría de matrices aleatorias, la correlación de pares de las matrices se usa a menudo para obtener la distribución de valores propios / vectores.

Nunca he oído hablar de ninguna explicación para este hecho que no sea invocar una coincidencia matemática. Probablemente haya alguna razón profunda para eso y me complacería saber más si alguien puede proporcionar referencias.