En matemáticas, una pregunta natural es cómo clasificar un cierto tipo de objeto matemático. Por supuesto, hacer preguntas es más fácil que responderlas. A menudo, las soluciones a los problemas de clasificación consisten en una lista de ejemplos que son más o menos lo que uno esperaría antes de resolver el problema de clasificación junto con una lista de casos excepcionales , que son menos esperados. A veces nadie tenía idea de que existían las excepciones antes de que ya se hubiera realizado un trabajo sustancial sobre el problema de clasificación.
Los casos excepcionales en problemas de clasificación realmente son descubrimientos matemáticos en el sentido más fuerte de la palabra: haga la pregunta correcta, córtela el tiempo suficiente y saldrá un tesoro completamente inesperado.
Un ejemplo famoso es la clasificación de grupos simples finitos (http://en.wikipedia.org/wiki/Cla…), que en términos generales son los “bloques de construcción” de simetrías finitas. Esta clasificación tiene 26 casos excepcionales, los grupos esporádicos (http://en.wikipedia.org/wiki/Spo…), que requirieron un gran esfuerzo e ingenio para descubrir. ¡El más grande, el Monstruo (http://en.wikipedia.org/wiki/Mon…), ni siquiera se predijo que existiera hasta 1973!
Los cuaterniones pueden considerarse como un caso excepcional en una clasificación mucho más simple, la de las álgebras de división asociativa real de dimensión finita (http://en.wikipedia.org/wiki/Fro…). No necesita saber exactamente qué significa esto porque resulta que solo hay tres de ellos:
- ¿Cuáles son algunos consejos para ahorrar tiempo que todo matemático debe saber?
- ¿Los matemáticos abordan los problemas de manera diferente que los físicos?
- ¿Quiénes fueron los mejores matemáticos del mundo y por qué?
- ¿Hay alguna razón por la cual los matemáticos exitosos son a menudo de origen ruso?
- ¿Qué significa ser matemático?
- los números reales
- los números complejos, y
- los cuaterniones!
Entonces, los cuaterniones son la respuesta a una pregunta muy natural, a saber, “¿qué sistemas de números además de los números reales y complejos se parecen a los números reales y complejos de una manera particular?” (especificado por los adjetivos anteriores).
Bien, entonces, ¿qué puedes hacer con los cuaterniones? Bueno, una razón por la cual las personas se preocupan por ellos es que son una forma muy conveniente de describir rotaciones tridimensionales (http://en.wikipedia.org/wiki/Qua…). Normalmente describiría una rotación n-dimensional utilizando una matriz n-por-n, que en 3 dimensiones significa que usaría 9 números. Pero usando cuaterniones, puede describir una rotación tridimensional usando solo 4 números; Además, la correspondencia entre un cuaternión y la rotación que representa tiene algunas buenas propiedades, como evitar el bloqueo del cardán (http://en.wikipedia.org/wiki/Gim…).
Quaternions también tiene varias otras aplicaciones más sofisticadas. Se pueden usar para construir una familia importante de grupos de Mentiras (http://en.wikipedia.org/wiki/Lie…), a saber, los grupos simplécticos (compactos) (http://en.wikipedia.org/wiki/Sym …) También están relacionados con las álgebras de Clifford (http://en.wikipedia.org/wiki/Cli…), que Dirac redescubrió al intentar describir el electrón de una manera que fuera consistente con la relatividad especial y la mecánica cuántica (http: //en.wikipedia.org/wiki/Dir…) y que hoy en día tienen aplicaciones en topología y geometría, así como en física.
Los cuaterniones aparecen en la teoría de la representación (http://en.wikipedia.org/wiki/Rep…) a través de la teoría del indicador Frobenius-Schur (http://en.wikipedia.org/wiki/Fro…). Desde cierta perspectiva, esta podría ser la mejor razón para inventar cuaterniones, pero no es así como se desarrolló la historia. En cualquier caso, esta es una aplicación relativamente sofisticada para explicar.