¿Qué es la teoría de números?

Answer 1

La teoría de números es el estudio de los enteros (números enteros) y sus propiedades. No es la “teoría de los números” (lo que sea que el Quora Topic Bot piense o pueda decirle).

Curiosamente, la teoría de números implica el análisis matemático (el estudio de variables continuas, límites, etc.). Uno de los problemas más famosos de la teoría de números implica ceros de la función zeta de Riemann

[matemática] \ zeta (s) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac1 {n ^ s} [/ math]

que se define a través de los números complejos. La hipótesis de Riemann (formulada en 1859) conjetura que los ceros no triviales de la función zeta son números complejos cuya parte real es [math] \ frac12 [/ math], y puede ganar US $ 1,000,000 del Clay Mathematics Institute por resolverlo ya que es uno de sus problemas con el Premio del Milenio. Resulta que la hipótesis de Riemann tiene consecuencias para la distribución de números primos …

Por lo tanto, el estudio de los números enteros implica números reales y complejos, pero tenga en cuenta que es un tema tonto, eso no significa que preguntas como ¿Cuál es el método para calcular una raíz cuadrada a mano? debe etiquetarse “Teoría de los números”.

Answer 2

Del artículo de Wikipedia sobre teoría de números.

La teoría de números es la rama de la matemática pura relacionada con las propiedades de los números en general, y los enteros en particular, así como las clases más amplias de problemas que surgen de su estudio.
La teoría de números puede subdividirse en varios campos, de acuerdo con los métodos utilizados y el tipo de preguntas investigadas.

La teoría introductoria de números generalmente comienza enfocándose en la aritmética modular y la reciprocidad cuadrática. Algunos de los principales resultados y conceptos que uno esperaría ver incluyen, entre otros:

• Algoritmo euclidiano
• El pequeño teorema de Fermat
• Teorema de Euler
• Teorema del resto chino
• La función [matemática] \ phi [/ matemática] de Euler

Una de las partes más intrigantes de la teoría de números es que se pueden introducir muchas preguntas muy interesantes que aún están abiertas. Esto es lo que me atrajo al campo. Un estudiante podría ser presentado a

• La conjetura de los primos gemelos
• Conjetura de Goldbach
• La hipótesis de Riemann

Para una buena charla sobre algunos de estos temas, vea la charla de Terence Tao (matemático) en la UCLA de 2008 o 2009.

Hace un muy buen trabajo al presentar algunos de estos problemas a un nivel bastante básico (y también explica parte del trabajo que ha estado haciendo).

Hay muchas formas de atacar los problemas abiertos en la teoría de números y esto ha llevado a algunas ramas dentro.

La teoría analítica de números utiliza la maquinaria del cálculo y el análisis complejo para resolver estas preguntas (no es demasiado sorprendente ya que la función zeta de Riemann se define como una serie infinita).

La teoría de números algebraicos utiliza la teoría de grupo / campo / Galois para abordar el tema.