¿Cuál es el resto de [matemáticas] \ dfrac {9 + 99 ^ 2 + 999 ^ 3 + 9999 ^ 4 + 99999 ^ 5} {77} [/ matemáticas]?

[matemáticas] 77 = 11 \ veces 7 [/ matemáticas], nombremos el numerador como A,

entonces,

[matemáticas] 9 = 11-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 99 = 11 \ veces 9 + 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 999 = 11 \ veces 91-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 9999 = 11 \ veces 909 + 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 99999 = 11 \ veces 9091-2 [/ matemáticas]

entonces, [matemáticas] A \ equiv (-2) +0 + (- 2) ^ 3 + 0 + (- 2) ^ 5 \ equiv -42 \ equiv 2 \ mod 11 [/ matemáticas]

es decir, el resto está en S = {2, 11 + 2, 22 + 2, 33 + 2, 44 + 2, 55 + 2, 66 + 2}

tenga en cuenta que: [matemáticas] 3 ^ 3 \ equiv (-1) \ mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 9 = 7 + 2 \ equiv 2 \ mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 99 = 10 ^ 2-1 \ equiv 3 ^ 2-1 \ equiv 1 \ mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 999 = 10 ^ 3-1 \ equiv 3 ^ 3-1 \ equiv -2 \ mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 9999 = 10 ^ 4-1 \ equiv 3 ^ 4-1 \ equiv -3-1 \ equiv 3 \ mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 99999 = 10 ^ 5-1 \ equiv 3 ^ 5-1 \ equiv -3 ^ 2-1 \ equiv -3 \ mod 7 [/ matemáticas]

tenemos, [matemáticas] A \ equiv 2 + 1 ^ 2 + (- 2) ^ 3 + 3 ^ 4 + (- 3) ^ 5 \ equiv -5 + 81 \ times (-2) \ equiv 1 \ mod 7 [/matemáticas]

mientras es el conjunto S, solo [math] 57 \ mod 7 = 1 [/ math], entonces, el resto es 57.

① 9≡9mod 77 ■

② 99²

= (77 + 22) ²

≡22²

= 484

= (77 * 6 + 22)

= (22) mod 77 ■

③ 999³

= (13 * 77–2) ³

≡-2³ = -8

69 (69) mod 77 ■

④ 9999 ^ 4

= {10,010–11} ^ 4

≡ 11 ^ 4

= (121) ²

= {154–33} ²

≡ 33²

= 1089

= (1001 + 88)

≡ 88

≡ (11) mod 77 ■

⑤ 99,999 ^ 5

= {100,100–101} ^ 5

≡ -1,01 ^ 5

= – {77 + 24} ^ 5

≡ -24 ^ 5

= -24 × (24²) ²

= -24 × 576²

= -24 (539 + 37) ²

≡-24 * 37²

≡ -24 * (1.369)

≡ -24 * (1309 + 60)

= -24 * 60

= – (1386 + 54)

≡-54

≡ (23) mod 77

⑥ Net Renainder

= (9 + 22 + 69 + 11 + 23) mod 77

≡65 + 69

= 77 + 57

≡ 57 mod 77

Usando el lenguaje de programación J (jsoftware.com)

77 | + / (9 99 999 9999 99999) ^ 1 2 3 4 5x

57

La respuesta es 57