Demostraremos que 23 es el más grande por inducción. Es fácil combinar combinatoriamente los puntajes posibles con cuatro o menos disparos. Escribamos en el formulario [matemáticas] n | m [/ matemáticas] donde [matemáticas] n [/ matemáticas] son el número de 5 y [matemáticas] m [/ matemáticas] son el número de 7.
1 | 0, 2 | 0, 3 | 0, 4 | 0, 0 | 1, 0 | 2, 0 | 3, 0 | 4, 1 | 1, 1 | 2, 1 | 3, 2 | 1, 2 | 2, 3 | 1
que igualan las puntuaciones
5, 10, 15, 20, 7, 14, 21, 28, 12, 19, 26, 17, 24, 22
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y deja [matemática] \ {1,2,3,4,6,8,9,11,13,16,18,23 \} [/ matemática] inalcanzable. El puntaje más pequeño de cinco disparos es 25, por lo que también se puede obtener.
Ahora, supongamos que ha obtenido una puntuación [matemática] x [/ matemática] con al menos cinco disparos.
Si usó al menos dos 7 para [matemáticas] x [/ matemáticas], simplemente haga lo mismo pero reemplace dos 7 con tres 5, y obtendrá la puntuación [matemáticas] x-14 + 15 = x + 1 [/ matemáticas] .
Si no usa dos 7 para [matemáticas] x [/ matemáticas], debe haber utilizado cuatro 5, que puede reemplazar por tres 7 para obtener [matemáticas] x-20 + 21 = x + 1 [/ matemáticas] .
Ahora hemos demostrado por inducción que cualquier puntaje superior a 25 es obtenible y, por lo tanto, 23 es el puntaje más alto que no se puede obtener.