Si [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son ​​enteros positivos, [matemática] x <y [/ matemática], [matemática] x + y = 667 [/ matemática] y [matemática] LCM (x, y) = 120GCD (x, y) [/ math], ¿qué son [math] x [/ math] y [math] y [/ math]?

Answer 1

Deje [math] g = \ gcd (x, y) [/ math]. Entonces [matemática] x = gx_1 [/ matemática] y [matemática] y = gy_1 [/ matemática], donde [matemática] 1 \ le x_1 <y_1 [/ matemática] y [matemática] \ mcd (x_1, y_1) = 1 [/matemáticas]. Por lo tanto, mcm [math] [x, y] = gx_1y_1 = 120g [/ math], de modo que [math] x_1y_1 = 120 [/ math]. De [matemáticas] 23 \ cdot 29 = 667 = x + y = g (x_1 + y_1) [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] x_1 + y_1 = 667 / g [/ matemáticas].

Si [matemática] g = 1 [/ matemática], [matemática] x_1 + y_1 = 667 [/ matemática] y [matemática] x_1y_1 = 120 [/ matemática]. Por lo tanto, [matemáticas] (x_1-y_1) ^ 2 = (x_1 + y_1) ^ 2–4x_1y_1 = 667 ^ 2–480 = 444409 [/ matemáticas], que no es un cuadrado perfecto. Entonces no hay solución en este caso.

Si [matemática] g = 23 [/ matemática], [matemática] x_1 + y_1 = 29 [/ matemática] y [matemática] x_1y_1 = 120 [/ matemática]. Por lo tanto, [matemáticas] (x_1-y_1) ^ 2 = (x_1 + y_1) ^ 2–4x_1y_1 = 29 ^ 2–480 = 361 = 19 ^ 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] x_1 = 5 [/ matemática] y [matemática] y_1 = 24 [/ matemática], de modo que [matemática] x = 115 [/ matemática] y [matemática] y = 552 [/ matemática].

Si [matemática] g = 29 [/ matemática], [matemática] x_1 + y_1 = 23 [/ matemática] y [matemática] x_1y_1 = 120 [/ matemática]. Por lo tanto, [matemáticas] (x_1-y_1) ^ 2 = (x_1 + y_1) ^ 2–4x_1y_1 = 23 ^ 2–480 = 49 = 7 ^ 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] x_1 = 8 [/ matemática] y [matemática] y_1 = 15 [/ matemática], de modo que [matemática] x = 232 [/ matemática] y [matemática] y = 435 [/ matemática].

Si [matemática] g = 667 [/ matemática], entonces [matemática] x_1 + y_1 = 1 [/ matemática], de modo que no hay solución.

Los únicos valores posibles para [matemática] (x, y) [/ matemática] con [matemática] 1 \ le x <y [/ matemática] son ​​[matemática] (115,552) [/ matemática] y [matemática] (232,435) [ /matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

⑴ Let (x, y) = (md, nd),

x

MCD (x, y) = d

LCM (x, y) = mnd

⑵

(i) md + nd = 667 → (m + n) d = 23 × 29

→font> (d, m + n) = (23,29) o (29,23) …… (A) ↙

(ii) mnd = 120d → (mn) = 120

⑶ ∴ POSIBLES valores de (m, n)

= (1,120), (2,60), (3,40), (4,60), (5,24), (6,20), (8,15), (10,12)

PERO (A) ↙ → (m + n) = 23 o 29

ACTUAL (m, n) = (5,24) u (8, 15)

(i) (x, y) = (md, nd) = (5d, 24d) o (8d, 15d), d = 23 o 29

= (5 * 23,24 * 23) ↙, (5 * 29,24 * 29), (8 * 23,15 * 23), ↘ (8 * 29,15 * 29)

(ii) (x + y)

= (29 * 23) ↙, (29 * 29), (23 * 23), ↘ (23 * 29)

(iii) PERO LD {(x + y)} = LD (667) = 7 = LD (29 * 23) o LD (29 * 23)

(iv) (x, y) = (5 * 23,24 * 23) ↙ o ↘ (8 * 29,15 * 29)

= (115,552) ↙ o ↘ (232,435)

Answer 3

Sea x = ad e y = bd donde d es el MCD y a y b son primos relativos.

Entonces x + y = 667 [math] \ rightarrow [/ math] (a + b) d = 667; 667 es 23 * 29 posible lista para a + b es

(23,29,667) ……………………………… (Lista 1)

valores correspondientes de d ser (29,23, 1)

Ahora LCM = abd y GCD = d

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] abd = 120 d [matemáticas] \ flecha derecha [/ matemáticas] ab = 120

siendo a y b valores primos relativamente posibles son

a = 5 b = 24 a + b = 29

a = 8 b = 15 a + b = 23

a = 1 y b = 120 a + b = 121

comparando estos con (lista 1) Solo 2 posibles soluciones para (a, b)

a = 5 b = 24 d = 23 x = 5 * 23 = 115 e y = 24 * 23 = 552

a = 8 b = 15 d = 29 x = 8 * 29 = 232 e y = 15 * 29 = 435

(115,552) y (232,435)

Answer 4

Deje que el MCD sea d.

[matemáticas] dm + dn = 667 = 23 \ veces 29 [/ matemáticas]

Entonces d puede ser 1, 23, 29 o 667

Supongamos que es 1. Entonces tenemos

[matemáticas] m + n = 667 [/ matemáticas]

[matemáticas] dmn = 120d \ implica mn = 120 [/ matemáticas]

myn satisfacen así la ecuación cuadrática:

[matemáticas] x ^ 2 – 667x + 120 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ Delta = 667 ^ 2 – 4 \ veces 120 [/ matemáticas]

Y este no es un cuadrado perfecto, [matemática] \ sqrt \ Delta = 666.64 \ cdots [/ matemática]

Entonces, las soluciones no son enteros y, por lo tanto, no serían las soluciones a la ecuación original.

Si tenemos d es 23, entonces

[matemáticas] n + m = 29 [/ matemáticas]

[matemáticas] mn = 120 [/ matemáticas]

Esto corresponde a una ecuación cuadrática:

[matemáticas] x ^ 2-29x + 120 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x-24) (x-5) = 0 [/ matemáticas]

Entonces myn son 24 y 5 respetuosamente.

xey son entonces 552 y 115.

Si tenemos d es 29, entonces

[matemáticas] m + n = 23 [/ matemáticas]

[matemáticas] mn = 120 [/ matemáticas]

Ecuación cuadrática:

[matemáticas] x ^ 2 – 23x + 120 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x-15) (x-8) = 0 [/ matemáticas]

myn son 15 y 8 respectivamente. Entonces tienes 435 y 232 respectivamente.

Si tenemos d es 667, entonces

[matemáticas] m + n = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] mn = 120 [/ matemáticas]

Ecuación cuadrática:

[matemáticas] x ^ 2 – x + 120 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Delta = 1 ^ 2 – 4 \ veces 120 <0 [/ matemáticas]

Entonces myn son números complejos, lo que no tiene sentido, por lo que los pares de soluciones son:

(115,552), (232,435)

Answer 5

[matemática] mcd (a, b) × mcm (a, b) = a × b \ implica mcd (a, b) = d [/ matemática]

[matemáticas] d ^ 2 × 120 = a × ba \ mid 120; b \ mid 120 [/ math]

[matemáticas] d \ mediados de 667 \ iff d \ mediados de 23 [/ matemáticas] o [matemáticas] d \ mediados de 29 \ iff d = 29 [/ matemáticas] o [matemáticas] 23. [/ matemáticas]

[matemáticas] d = 23 \ implica 23 (k_ {2} + k_ {2}) = 23 × 29 ==> k_ {2} + k_ {2} = 29. [/ matemáticas]

[matemáticas] (k_ {1}, k_ {2}) = 1 [/ matemáticas]

Como [math] d \ nmid 120 \ implica k_ {1} | 120 [/ math] [math] k_ {2} | 120. [/ Math]

Ahora podemos deducir que [matemáticas] k_ {1} × k_ {2} = 120 = 2 ^ 3 × 3 × 5 = 24 × 5 [/ matemáticas]

Como [math] \ boxed {24 + 5 = 29; (24,5) = 1}. [/ Math]

Por lo tanto, todas las condiciones se cumplen y obtuvimos [matemáticas] k_ {2}, k_ {2} = \ {24,5 \}. [/ Matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] x = 23 × 24 = 552 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 5 × 23 = 115. [/ matemáticas]

Si hemos considerado [matemáticas] d = 29 [/ matemáticas]

[matemáticas] k_ {2} + k_ {2} = 23 = 8 + 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] mcd (8,15) = 1 [/ matemáticas]

Y entonces [matemáticas] x = 8 × 29 = 232 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 435. [/ matemáticas]

Entonces tenemos dos soluciones.