¿Cómo podemos encontrar el valor de una función beta en los enteros m, n? ¿Cómo podemos encontrar B (m, n) sin usar la función gamma o cualquier otra función?

Answer 1

Cuando se trata de valores enteros para la función beta, podemos usar directamente la siguiente fórmula para la función Beta

B (x, y) = [matemáticas] \ Gamma (x) \ Gamma (y) / \ Gamma (x + y) [/ matemáticas]

Sabemos que, para todas las entradas de valor entero positivo para la función gamma, la función gamma es directamente equivalente a …

[matemáticas] \ Gamma (x) = (x-1)! [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ Gamma (x) = \ Gamma (x + 1) = x! [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Gamma (x) = (x-1) \ Gamma (x-1) [/ matemáticas]

B (x, y) = [matemáticas] \ displaystyle \ frac {(x-1)! (Y-1)!} {(X + y-1)!} [/ Matemáticas]

Entonces, para todos los enteros x e y, la función beta se puede calcular así fácilmente. Sin embargo, tenga en cuenta que no se puede calcular B (x, y) para valores enteros negativos, ya que la función gamma tiene polos simples en valores enteros negativos.

Esta es la forma más simple de hacerlo. Por supuesto, puede usarlo de otra manera, pero esta es la forma más fácil de hacerlo (eso podría pensar de todos modos). Lo único que tendría que hacer es encontrar el factorial y dividir.

Algunas notas

B (x, y) = B (y, x), es decir, la función beta es simétrica

B (x, y) = B (x, y + 1) + B (x + 1, y)
B (x, y + 1) = B (x, y) [matemáticas] \ displaystyle \ frac {y} {x + y} [/ matemáticas]

B (x + 1, y) = B (x, y) [matemáticas] \ displaystyle \ frac {x} {x + y} [/ matemáticas]

B (x, y) ~ [matemáticas] \ Gamma (x) x ^ {- y} [/ matemáticas] [Para grandes x ^ y]

B (x, y) ~ [matemáticas] \ sqrt {2 \ pi} \ frac {x ^ {x- \ frac {1} {2}} y ^ {y- \ frac {1} {2}}} { (x + y) ^ {x + y- \ frac {1} {2}}} [/ math]

B (x, y) B (y + x, q) = B (y, q) B (y + q, x)

Ejemplo, supongamos que desea encontrar B (6,4)

Entonces,

[matemáticas] \ Gamma (6) = (6-1)! = 5! = 120 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Gamma (4) = (4-1)! = 3! = 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Gamma (6 + 4) = \ Gamma (10) = (10-1)! = 9! = 362880 [/ matemáticas]

B (6,4) = [matemáticas] \ Gamma (6) \ Gamma (4) / \ Gamma (6 + 4) = 5! 3! / 9! = 120 * 6/362880 = [/ matemáticas]

[matemáticas] 720/362880 = 1/504 = 0.0019841…. [/ matemáticas]

Algunos sitios que brindan información detallada sobre la función Beta

Función beta – Wikipedia

https://homepage.tudelft.nl/11r4… (El autor proporciona algunas derivaciones y propiedades interesantes)

Función Beta – de Wolfram MathWorld