¿Qué significa x ^ x cuando x no es un número entero?

Answer 1

¿Qué significa [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] cuando [matemáticas] x [/ matemáticas] no es un número entero?

Prefiero responder la pregunta “¿Cuál es el significado de a ^ b cuando b no es un número entero”. Veamos.

Sabemos que, para cualquier número natural n, [matemáticas] x ^ n = x * x * … .. [/ matemáticas] (n veces). Bastante simple.

Entonces, ¿qué es [matemáticas] x ^ {- n} [/ matemáticas]?

Regla: [matemáticas] x ^ {- n} = 1 / x ^ n [/ matemáticas]

De acuerdo, eso se encarga de los negativos. ¿Qué pasa con [matemáticas] x ^ {1 / n} [/ matemáticas]?

[matemáticas] a = x ^ {1 / n} => a ^ n = x [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] x ^ {1 / n} [/ matemáticas] es lo mismo que [matemáticas] \ sqrt [n [/ matemáticas] [matemáticas]] {x} [/ matemáticas]

En general, para [matemáticas] x ^ {p / q} [/ matemáticas], usamos,

Regla: [matemáticas] x ^ {mn} = (x ^ m) ^ n [/ matemáticas]

¡Y eso se ocupa de todos los números racionales! Dado que todos los números racionales se pueden expresar como p / q donde p y q son enteros y q no es cero.

Todavía queda la pregunta sobre los exponentes irracionales.
Después de todo, ¿qué quiere decir con [matemáticas] 2 ^ {\ sqrt [2] {2}} [/ matemáticas] o [matemáticas] 2 ^ {\ pi} [/ matemáticas]?

Bueno, lo que puede hacer para tales exponentes es tomar una aproximación hasta algunos decimales y calcular los límites. No puedo discutir el tema más, ya que es demasiado complicado.

Espero que esto ayude. Pregunte si tiene alguna pregunta. = D

Answer 2

[matemática] x ^ x [/ matemática] se define como [matemática] \ exp (x \ log x) [/ matemática]. Como función de una variable compleja, la función de registro tiene dominio [math] \ mathbb C \ setminus \ {0 \} [/ math] mientras que la función exp se define en todas partes en [math] \ mathbb C [/ math]. Sin embargo, dado que la variable [math] x [/ math] se está utilizando en esta pregunta en lugar de [math] z [/ math], voy a suponer que estamos restringiendo nuestra atención a [math] x \ in \ mathbb R [/ matemáticas].

La función de registro se define normalmente en el conjunto de números reales positivos [math] {\ mathbb R} ^ + [/ math]. Entonces podemos usar esto para definir [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] en [matemáticas] {\ mathbb R} ^ + [/ matemáticas].

Como [math] \ log 0 [/ math] no está definido, [math] 0 ^ 0 [/ math] no se puede definir.

Para [matemática] x <0 [/ matemática], [matemática] \ log x [/ matemática] se define por el número no real [matemática] \ log (-x) + i \ pi [/ matemática]. El dominio de la función exp puede extenderse a [math] \ mathbb C [/ math] por

[matemáticas] exp (a + ib) = exp (a) \ cdot exp (ib) = exp (a) \ big (\ cos b + i \ sin b \ big) [/ math].

Por lo tanto, [math] x ^ x [/ math] puede definirse para todas las [math] x <0 [/ math] reales combinando las definiciones que he dado.