¿Hay alguna función que satisfaga [matemáticas] f (x + y) = f (x) f (y) [/ matemáticas] necesariamente una función exponencial?

Answer 1

Este tipo de ecuación se conoce como ecuación funcional. En este tipo de problemas, generalmente se nos pide que encontremos la función que satisface la condición dada. No hay un método especial para resolver este tipo de preguntas que no sea el método hit y trial.

Condición dada:

f (x + y) = f (x) * f (y)

Poner, x = 0 e y = 0 simultáneamente

f (0) = f (0) * f (0)

f (0) = {f (0)} ^ 2

{f (0)} ^ 2 -f (0) = 0

{f (0)} [f (0) – 1] = 0

Ahora tenemos dos valores de f (0)

f (0) = 1 yf (0) = 0

Ahora pon, y = 0 y deja x como está

f (x + 0) = f (x) * f (0)

f (x) = f (x) * f (0) ——————— (i)

Ahora la ecuación (i) solo será válida si el valor de f (0) = 1

Ahora hemos confirmado que el valor correcto de f (0) es 1

Ahora veamos cualquier ecuación exponencial. e ^ x + y a ^ x + y o cualquier ecuación exponencial.

Ahora ponga x = 0 e y = 0 o x + y = 0

f (x + y) = f (x) * f (y) = e ^ x + y

f (0) = e ^ 0 = 1

Por lo tanto, satisface la relación dada.

Puede haber millones de otras funciones que puedan satisfacer esta relación, pero para un exponencial es cierto.

No podemos decir que esta relación solo satisfaga la función exponencial porque también es válida para los polinomios.

Suponer

f (x + y) = a (x + y) ^ 2

Aquí f (0) = 0

A partir de los resultados anteriores, podemos concluir que proporciona retención de condición para funciones exponenciales y polinómicas.

Cuando f (0) = 1, entonces se cumple para exponencial y cuando f (0) = 0, entonces se cumple para polinomio.

Espero que esto te ayude. Si tienes algún problema, comenta.

Answer 2

Encontremos la función f (x).

f (x + y) = f (x) × f (y)

f (0 + 0) = f (0) × f (0)

f (0) (f (0) -1)) = 0

Entonces f (0) = 1 o f (0) = 0.

d / dx (f (x)) = lim h-> 0 (f (x + h) -f (x)) / h

= lim h-> 0 (f (x + h) -f (x + 0)) / h

= h-> 0 (f (x) × f (h) -f (x) × f (0)) / h

= f (x) h-> 0 (f (h) -f (0)) / h

= f (x) × f` (0)

Aquí f` (0) es la diferenciación de f (x) en x = 0.

d / dx (f (x)) = f (x) × c

d (f (x)) / f (x) = cdx

En f (x) = cx + d

f (x) = e ^ (cx + d)

Usando f (0) = 0

e ^ (c × 0 + d) = e ^ d = 0

No existe valor de d.

Usando f (0) = 1.

f (0) = 1

e ^ (c × 0 + d) = e ^ d = 1

d = 0.

Entonces f (x) = e ^ (cx)

Entonces, de la explicación anterior, está claro que la función es exponencial.

Answer 3

f (x + y) = f (x) × f (y). Este tipo de función solo será exponencial.

Pros

En LHS = f (x + y) = e ^ (x + y), aquí ‘e’ es la función x & y

En RHS = f (x) × f (y) = e ^ x + e ^ y

Conocemos la regla de exponencial e ^ (x + y) = e ^ x + e ^ y. Aquí e ^ x = f (x), e ^ y = f (y)

Contras

Tomar la función logarítmica

log (x + y) no = log (x) × log (y)

Es igual a log (x) + log (y).

Un ejemplo más para cualquier función trigonométrica.

Sin (x + y) no = sin (x) + sin (y)

Pero sin (x + y) = sin (x) × cos (y) + cos (x) × sin (y).

Entonces, este tipo de operación es validado para la función exponencial

Answer 4

Si suponemos que [math] f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] es continuo, entonces absolutamente.

Deje [math] f (1) = a. [/ Math] Quiero mostrar que [math] f (x) = a ^ x [/ math]

Deje que [math] p, q [/ math] sean enteros con [math] q \ neq 0 [/ math]. Entonces [matemáticas] f (p) = f (1 + 1 + \ puntos + [/ matemáticas] [matemáticas] 1) = f (1) f (1) \ puntos f (1) = a ^ p [/ matemáticas] por nuestra propiedad multiplicativa, donde tenemos [matemáticas] p [/ matemáticas] [matemáticas] 1 [/ matemáticas] ‘s. También tenemos [matemáticas] f (p) = f \ left (\ frac {p} {q} q \ right) = f \ left (\ frac {p} {q} + \ frac {p} {q} + \ dots + \ frac {p} {q} \ right) = f \ left (\ frac {p} {q} \ right) ^ q [/ math]

Esto significa [matemáticas] a ^ p = f \ left (\ frac {p} {q} \ right) ^ q \ Rightarrow f \ left (\ frac {p} {q} \ right) = a ^ {p / q }[/matemáticas]

¡Ahora podemos usar la continuidad! Es bien sabido que si dos funciones continuas [math] \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] coinciden en un subconjunto denso de [math] \ mathbb {R} [/ math], entonces son iguales . [math] \ mathbb {Q} [/ math] es denso en [math] \ mathbb {R} [/ math] así que hemos mostrado [math] f (x) = a ^ x. [/ math]

Editar: Bernard Blander ha señalado en los comentarios que esta prueba se basa en que [math] a ^ x [/ math] está definido y es continuo en todos [math] \ mathbb {R} [/ math], por lo que necesita estipular [math] a \ geq 0 [/ math].

Editar, para lectores avanzados: este resultado y el método de prueba es un caso especial de lo siguiente:

Suponga que [math] G \ subset GL_n (\ mathbb {R}) [/ math] es un grupo y [math] \ pi: (\ mathbb {R}, +) \ to G [/ math] es un grupo continuo homomorfismo Entonces [math] \ pi (t) = \ exp (tA) [/ math] para una matriz única [math] A [/ math].

Answer 5

La estructura binaria [math] <\ R, +> [/ math] con la operación de adición habitual es isomórfica a [math] <\ R, \ cdot> [/ math] donde [math] \ cdot [/ math] es La multiplicación habitual.

• Recuerde que [matemáticas] a ^ {b + c} = (a ^ b) (a ^ c) [/ matemáticas]
• Definamos [math] \ phi: \ R \ to \ R ^ + [/ math] por [math] \ phi (x) = e ^ x [/ math] para [math] x \ in \ R [/ math ]
• Suponga que [math] \ phi (x) = \ phi (y) \ implica e ^ x = e ^ y [/ math]. Tomando el logaritmo natural de ambos lados se obtiene, [matemática] x = y [/ matemática]. Por lo tanto, [math] \ phi [/ math] es uno a uno
• Si [matemática] x \ in \ R ^ + [/ matemática] entonces [matemática] \ ln x \ in \ R [/ matemática], y [matemática] \ phi (\ ln x) = e ^ {\ ln x} = x [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ phi [/ math] está en [math] \ R ^ + [/ math].
• Finalmente, para [matemáticas] x, y \ in \ R [/ matemáticas], [matemáticas] \ phi (x + y) = e ^ {x + y} = e ^ x \ cdot e ^ y = \ phi (x ) \ phi (y) [/ math]
• Hemos demostrado que [math] \ phi [/ math] es un homomorfismo biyectivo , por lo tanto, es un isomorfismo .

Si observa la Wikipedia de ecuaciones funcionales, debería obtener algo similar a mi ejemplo. Y ya debería saber que necesitamos una función exponencial para que esta relación se mantenga.

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Suponga que existe una función [matemática] f [/ matemática] tal que [matemática] f (x + y) = f (x) f (y) [/ matemática]. Si dejamos [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] f (x + 0) = f (x) f (0) [/ matemáticas], lo que implica que [matemáticas] f (0) = 1 [/ math] o [math] f (x) = 0 [/ math] para todos [math] x [/ math].

[matemáticas] f (x + y) = f (x) f (y) \\ f (x + y) -f (x) = f (x) f (y) -f (x) \\\ dfrac { f (x + y) -f (x)} y = f (x) \ dfrac {f (y) -1} y \\\ lim_ \ limits {y \ a 0} \ dfrac {f (x + y) -f (x)} y = \ lim_ \ límites {y \ a 0} f (x) \ dfrac {f (y) -1} y \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] f ‘(x) = \ lim_ \ límites {y \ a 0} f (x) \ dfrac {f (y) -1} y \ tag {1} [/ matemáticas]

• Para que exista la derivada, requerimos que [math] f [/ math] sea continua en al menos un valor de [math] x [/ math], o monotónica sobre el dominio.
• En ese caso existe la derivada. Suponemos que el límite es un valor finito [matemática] C [/ matemática]. Esto nos permite escribir el lado derecho de [math] (1) [/ math] como algo de [math] Cf (x) [/ math]

Entonces, ahora tenemos

[matemáticas] f ‘(x) = Cf (x) \\\ dfrac {df} {dx} = Cf \\\ dfrac {df} {f} = C \, \ mathrm {dx} \\\ displaystyle \ int \ dfrac {df} {f} = \ int C \, \ mathrm {dx} \\\ ln | f | = Cx + C_0 \\ f = e ^ {Cx + C_0} \\ f = e ^ {C_0} e ^ {Cx} \\\ boxed {f (x) = Ke ^ {Cx}} \ tag * {} [/ math]

Ahora, al usar [matemática] x = y = 0 [/ matemática] vemos que en una solución debemos tener [matemática] K ^ 2 = K [/ matemática], entonces [matemática] K = 0 [/ matemática], correspondiente a la solución constante que encontramos al principio, o [matemáticas] K = 1 [/ matemáticas]. Entonces es fácil verificar que cada solución restante sea realmente una solución, lo que significa que estas son precisamente todas las soluciones dadas las condiciones que asumí.

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Sin las condiciones que asumí, no es posible probarlo.

Answer 6

Para complementar la respuesta de Jake Januzelli, en realidad es necesario suponer que [math] f [/ math] es continua (o alguna otra suposición adicional). Sin el supuesto adicional, la respuesta a su pregunta es “no”. Hay otras soluciones

La ecuación funcional de Cauchy [matemáticas] \ para todos x, y: g (x + y) = g (x) + g (y) [/ matemáticas] tiene algunas soluciones extrañas no lineales. (Consulte la página de Wikipedia vinculada para obtener una descripción). Cualquiera de estas soluciones se puede utilizar para definir una función [matemática] f (x) = e ^ {g (x)} [/ matemática] que resuelve esta ecuación funcional.

Answer 7

La suposición principal que debe establecer antes de resolver esta función es Continuo. Suponga que f (1) = a (a! = 0). entonces f (1) = f (1 / m) * f (1 / m)… m veces para m natural (> 0), entonces f (1 / m) = a ^ (1 / m). f (n / m) = f (1 / m) * f (1 / m) *… n veces, entonces f (n / m) = a (n / m). Usted sabe por análisis que a ^ x es continuo, por lo que para todos {x} -> g tiene f (x) -> f (g). U puede configurar su secuencia para que sea racional yg para que sea irracional, f (i) = lim (x-> i) f (x) = lim (x-> i) a ^ (x) = a ^ i, bc en el punto racional u ya prueba que f (x) = a ^ x

Answer 8

Al principio, diferencie parcialmente wrt x e y respectivamente y dos ecuaciones estarán aquí. f ‘(x + y) = f’ (x) f (y) ……. (1)
f ‘(x + y) = f (x) f’ (y) …… .. (2)
Luego haga (1) / (2) luego ajústelo como
f ‘(x) / f (x) = f’ (y) / f (y)
¿Ahora qué más adelante?
Integración en ambos lados y sería como Log (f (x)) = Log (f (y)) Ver que estoy considerando la integración constante como una. Ahora mire el lado derecho teniendo términos de solo variable y siempre que el lado izquierdo tenga términos de solo variable x. xey son variables independientes, por lo que estos dos lados son iguales a un número constante Considérelo K

Log (f (x)) = Log (f (y)) = K
Entonces f (x) = e ^ Kx Y f (y) = e ^ Ky
Y también f (x + y) = e ^ K (x + y) Esta función mantiene su igualdad. Finalmente, esa función debe ser e ^ kx,

Answer 9

Claramente de acuerdo con Michal Forišek, que sin una condición adicional hay soluciones extrañas; de hecho, cuando era estudiante (hace casi 30 años), nuestro maestro de Teoría de la Medición había construido una solución para la ecuación de Cauchy relacionada, [matemáticas] f (x + y) = f (x) + f (y) [/ math] para mostrar la existencia de una función no medible. La condición más general que conozco para que la ecuación de Cauchy tenga una solución lineal (aquí una solución exponencial) es asumir que la función es medible. Debe separar los casos [math] (0, \ infty) [/ math] y [math] (- \ infty, 0) [/ math]. En ambos casos, la función será subaditiva además de superaditiva. El teorema del límite subaditivo dará el límite de [math] f (x) / x [/ math] como [math] x \ to \ infty [/ math] es [math] \ inf \ {f (t) / t: t> 0 \} [/ math] mientras que el caso súper aditivo dará el límite como [math] \ sup \ {f (t) / t: t> 0 \} [/ math] lo que implicará que [math ] f (t) / t [/ math] debe ser una constante para todos [math] t> 0 [/ math]. Del mismo modo, uno hace el lado negativo y finalmente concluye que ambas constantes deben ser iguales.

Answer 10

[matemáticas] ln (x + y) = ln (x) * ln (y) [/ matemáticas]

Además, tenga cuidado con su lógica. La lógica es a veces contraintuitiva.

Puede haber otras funciones, no relacionadas con las funciones exponenciales. En realidad, solo pensé en uno.

[matemáticas] f (a) = 1, o f (a) = 0 [/ matemáticas] también funciona. La intuición no es todo en matemáticas, razón por la cual hay un método de prueba riguroso involucrado.

Answer 11

Nosotros no.

Puede haber muchas funciones que tengan esta propiedad.

Sabes qué, para el caso especial [matemática] y = 0 [/ matemática], [matemática] f (0) = 1 [/ matemática], tenemos simplemente [matemática] f (x) = f (x) [/ matemática ]

La función exponencial es una de las soluciones que conocemos y entendemos, y una que nos es útil.

Answer 12

Otros han señalado que no es cierto y por eso no puedes probarlo. Puede mostrar que f (x) = a ^ x para todas las x racionales. Luego elige un número irracional, q. Entonces puedes mostrar que f (x) = b ^ x para x cualquier múltiplo racional de q. Puedes jugar este juego infinitamente a menudo eligiendo cada b diferente de a y todos los bs anteriores, y asegurándote de que ninguna de las q sean múltiplos racionales de ninguna otra.

Después de jugar este juego varias veces, podrías decir f (x) = c ^ x para todas las otras xs. Entonces, hay muchas de esas funciones.

Si se imagina haciendo esto un número incontable de veces, la función no se puede construir, pero si acepta el axioma de elección, tales funciones existen.

Answer 13

No, no es una condición difícil y lejana que solo sea exponencial.

Supongamos que f (x) = a ^ x

Y f (y) = a ^ y

Entonces f (x + y) = a ^ (x + y)

Entonces, a puede ser cualquier número, ya sea e o cualquier dígito numérico.