¿Cuál es la distancia entre los vértices de [matemáticas] y = x + \ frac {x} {1 + x} [/ matemáticas]?

Answer 1

Usa el hecho de que

[matemáticas] A_1A_2 + k \ equiv H [/ matemáticas]

En otras palabras, el producto de las asíntotas y la hipérbola simplemente se desplaza por una constante …

[matemáticas] y = x + \ dfrac {x} {x + 1} = (x + 1) – \ dfrac {1} {(x + 1)} [/ matemáticas]

entonces, [matemáticas] x ^ 2 + 2x-xy-y = 0 [/ matemáticas]

Claramente, una asíntota es [matemática] A_1 \ equiv x + 1 = 0 [/ matemática]

Deje [math] A_2 \ equiv mx + cy = 0 [/ math]

Ahora usamos ese hecho …

[matemáticas] (x + 1) (mx + cy) + k \ equiv x ^ 2 + 2x-xy-y [/ matemáticas]

[matemáticas] mx ^ 2 + (m + c) x-xy-y + (c + k) \ equiv x ^ 2 + 2x-xy-y [/ matemáticas]

comparar coeficientes para obtener …

[matemáticas] \ {m = 1; c = 1; k = -1 \} [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] A_2 \ equiv y = x + 1 [/ matemáticas]

Conocemos las dos asíntotas de la hipérbola … encontramos la bisectriz angular …

[matemáticas] y = (1- \ sqrt {2}) (x + 1) [/ matemáticas]

Resuelve las ecuaciones para obtener los dos puntos como …

[matemática] \ left (-1+ \ dfrac {1} {\ sqrt [4] {2}}, \ dfrac {1- \ sqrt2} {\ sqrt [4] {2}} \ right) [/ math]

Y

[matemática] \ left (-1- \ dfrac {1} {\ sqrt [4] {2}}, \ dfrac {\ sqrt2-1} {\ sqrt [4] {2}} \ right) [/ math]

Siga adelante y use la fórmula de distancia …

¿Hay un método más corto, por favor notifíqueme

Answer 2

Respuesta: La distancia es de aproximadamente 1.820, y los vértices son aproximadamente (-0.3827, 1.834) y (-0.3827, 0.014)

Este es mi bosquejo de solución (lo que significa que no voy a pasar por los cálculos):

Si grafica esto (usé Desmos.com), parece una hipérbola. Esto motiva a reorganizar esta ecuación como una cónica.

Multiplicando ambos lados por [matemática] 1 + x [/ matemática], y moviendo todo a un lado, obtenemos [matemática] x ^ 2-xy + 2x-y = 0 [/ matemática], que de hecho es una cónica rotada.

Es bien sabido (es decir, Google lo busqué y encontré este sitio: Secciones cónicas: Rotación del eje) que el ángulo de rotación es igual a la mitad de [math] \ frac {BA} {C} [/ math], que significa el ángulo es [matemáticas] \ frac {\ pi} {8} [/ matemáticas].

También tenemos las siguientes 2 ecuaciones sobre las coordenadas rotadas:

[matemáticas] x ‘= x \ cos {\ theta} + y \ sin {\ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘= – x \ sin {\ theta} + y \ cos {\ theta} [/ matemáticas]

Si los conectamos y los graficamos nuevamente en Desmos, encontramos los vértices y la distancia.

No me molestaré en hacer cálculos simbólicos por mi cuenta ya que los números se vuelven feos y tediosos. Cuando estaba aprendiendo esto en clase, mi maestro prometió que nunca tendríamos que graficarlo completamente en ninguna tarea porque tomó demasiado tiempo, en cambio nos preguntó sobre el ángulo de rotación o qué tipo de cónica rotaba.

Por supuesto, es más importante (y más educativo) saber y comprender cómo resolver estos problemas, que repasar los números.