[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ cos ^ 2x} {1 + 3 \ sin ^ 2x} \, dx [/ matemáticas]
Espero que esto sea lo que quisiste decir en la pregunta.
En primer lugar, divida el numerador y el denominador por [math] \ cos ^ 2x [/ math]
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {\ dfrac {1} {\ cos ^ 2x} +3 \ dfrac {\ sin ^ 2x} {\ cos ^ 2x}} \, dx [/ math]
- ¿He aproximado el límite de error de [math] \ displaystyle \ int_ {1} ^ {3} 2 \ ln (t) dt [/ math] incorrectamente?
- ¿Cuál es el número de soluciones distritales de la ecuación [matemáticas] z ^ 2 + \ left | z \ right | = 0 [/ math], donde [math] z [/ math] es un número complejo?
- ¿Cuál es el valor máximo de [matemáticas] \ cfrac {abc + bcd + cda} {a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + d ^ 3} [/ matemáticas] para [matemáticas] a, b, c, d > 0 [/ matemáticas]?
- ¿Cuáles son el dominio y el rango de la relación {(-4, 2), (0, 1), (0, 5), (8, 10)}?
- ¿Cuántas intersecciones x tiene la gráfica de y = – (x + 1) 2 – 2?
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {\ sec ^ 2x + 3 \ tan ^ 2x} \, dx [/ math]
Usando la identidad Trig, [math] \ sec ^ 2x = 1+ \ tan ^ 2x [/ math]
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {1+ \ tan ^ 2x + 3 \ tan ^ 2x} \, dx [/ math]
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {1 + 4 \ tan ^ 2x} \, dx [/ matemáticas]
¡Ahora es el momento de hacer una sustitución!
Deje [math] \ tan x = t [/ math]
Tomando derivados de ambos lados …
[matemáticas] \ seg ^ 2x dx = dt [/ matemáticas]
[matemáticas] dx = \ dfrac {dt} {\ sec ^ 2x} [/ matemáticas]
[matemáticas] dx = \ dfrac {dt} {1+ \ tan ^ 2x} [/ matemáticas]
[matemáticas] dx = \ dfrac {dt} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]
Así que ahora, la integral se ve más o menos así …
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {(1 + t ^ 2) (1 + 4t ^ 2)} \, dt [/ math]
Ahora, multiplique el numerador y el denominador por [matemáticas] 3. [/ matemáticas] Verá por qué …
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {3} {3 (1 + t ^ 2) (1 + 4t ^ 2)} \, dt [/ matemáticas]
Podemos reescribir [math] 3 [/ math] en el numerador como …
[matemáticas] I = \ dfrac {1} {3} \ displaystyle \ int \ dfrac {(4 + 4t ^ 2) – (1 + 4t ^ 2)} {(1 + t ^ 2) (1 + 4t ^ 2 )} \, dt [/ math]
[matemáticas] I = \ dfrac {1} {3} \ displaystyle \ int \ dfrac {4 (1 + t ^ 2) – (1 + 4t ^ 2)} {(1 + t ^ 2) (1 + 4t ^ 2)} \, dt [/ matemáticas]
[matemáticas] I = \ dfrac {1} {3} \ displaystyle \ int \ dfrac {4} {1 + 4t ^ 2} – \ dfrac {1} {1 + t ^ 2} \, dt [/ math]
[matemáticas] I = \ dfrac {1} {3} \ left [\ displaystyle \ int \ dfrac {4} {1 + 4t ^ 2} \, dt – \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {1 + t ^ 2} \, dt \ right] [/ math]
[matemáticas] I = \ dfrac {1} {3} \ left [\ displaystyle \ int \ dfrac {1} {\ dfrac {1} {4} + t ^ 2} \, dt – \ displaystyle \ int \ dfrac { 1} {1 + t ^ 2} \, dt \ right] [/ math]
[matemáticas] I = \ dfrac {1} {3} \ left [\ displaystyle \ int \ dfrac {1} {(\ frac {1} {2}) ^ 2 + t ^ 2} \, dt- \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {1 + t ^ 2} \, dt \ right] [/ math]
¡Hey Mira! ¡Estos dos tipos son integrales estándar!
[matemáticas] I = \ dfrac {1} {3} \ left (2 \ tan ^ {- 1} (2t) – \ tan ^ {- 1} (t) \ right) + C [/ math]
Ahora simplemente conecte [math] t = \ tan x [/ math]
[matemáticas] I = \ dfrac {1} {3} \ left (2 \ tan ^ {- 1} (2 \ tan x) – \ tan ^ {- 1} (\ tan x) \ right) + C [/ matemáticas]
Esto se puede simplificar como …
[matemáticas] I = \ dfrac {1} {3} \ left (2 \ tan ^ {- 1} (2 \ tan x) – x \ right) + C [/ math]
¡Resuelto!
PD: Este es el método más simple que se me ocurre por ahora 🙂