¿Cuál es el valor máximo de [matemáticas] \ cfrac {abc + bcd + cda} {a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + d ^ 3} [/ matemáticas] para [matemáticas] a, b, c, d > 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Es ilimitado si dejamos que las variables se extiendan sobre todos los números reales. Supongamos que están restringidos para ser positivos (editar: está bien, ahora el problema indica que son positivos). La cantidad es invariante bajo dilatación, por lo que podemos suponer wlog que [math] c = 1 [/ math]. La expresión resultante es simétrica en las tres variables restantes y tiene un máximo cuando son iguales. Por lo tanto, el problema se reduce a encontrar el máximo de [matemáticas] y = 3x ^ 2 / (3x ^ 3 + 1) [/ matemáticas] sobre [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas]. Esta cantidad (suave, positiva) es 0 en los límites de [matemática] x [/ matemática] que va a 0 o infinito, por lo que su máximo está en el interior. Establecer su derivada a cero produce un máximo en [matemáticas] x = (2/3) ^ {1/3} [/ matemáticas], donde su valor es [matemáticas] y = (2/3) ^ {2/3} [/ math], que es aproximadamente 0.763143.

Anexo: Dejé algunos detalles. La principal es mostrar que [matemática] (ab + bd + da) / (a ​​^ 3 + b ^ 3 + d ^ 3 + 1) [/ matemática] es máxima cuando [matemática] a = b = d [/ matemáticas]. Esto se desprende de dos desigualdades. Para un valor fijo de [matemática] a + b + d [/ matemática], la desigualdad de potencia media muestra que [matemática] a ^ 3 + b ^ 3 + d ^ 3 [/ matemática] se minimiza cuando [matemática] a = b = d [/ math], mientras que la desigualdad de Maclaurin muestra que [math] ab + bd + da [/ math] se maximiza cuando [math] a = b = d [/ math]. Además, la desigualdad ponderada AM-GM muestra [matemáticas] (2/3) 3x ^ 3 + (1/3) 2 \ ge (3x ^ 3) ^ {2/3} 2 ^ {1/3} [/ matemáticas ] con igualdad iff [matemáticas] 3x ^ 3 = 2 [/ matemáticas]. Esta es una mejor manera de obtener el máximo [math] y = (2/3) ^ {2/3} [/ math].

Answer 2

Editar: mi respuesta ya no es correcta ya que la pregunta original fue editada …

Respuesta = infinito

factores numeradores en c (ab + bd + ad)

Si a = b = c = d = no es cero, entonces esto se evalúa como = 3/4, que podría ser el valor máximo … intentemos algunas cosas

Si c = 0, entonces este valor es 0

Si c = se aproxima a 0, este valor se aproxima a 0

Si c = se aproxima al infinito y a = b = d = 1, este valor se aproxima a cero

Si c = 1 y a = b = c = se aproxima al infinito, este valor se aproxima a cero

Si c = 1 y a = b = c = se acerca a cero, ese valor se aproxima a cero

Nada funciona … el valor máximo es 3/4 hasta ahora … intentemos números negativos

Si -c ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + d ^ 3 + x, y si a = b = c> 0, y si x se aproxima al infinito, este valor se aproxima al infinito. Misión cumplida. ¡Hurra!