¿Cuáles son las soluciones de las raíces primitivas de 18?

Answer 1

[ Suponiendo que se refiere a raíces complejas primitivas ]

Llamamos a [math] \ xi_n [/ math] una raíz primitiva de la unidad [math] (\ xi_n) ^ n = 1 [/ math] pero [math] ([/ math] [math] {\ xi_n}) ^ k \ neq {1} [/ matemáticas] [matemáticas] \ forall {k <n} [/ matemáticas].

Indiquemos con [math] \ xi_ {n} ^ {k} [/ math] la [math] k [/ math] -th [math] n [/ math] -th raíz de la unidad, con [math] 0 \ leq {k} \ leq {n-1} [/ math] y [math] \ xi_ {n} ^ {0} = 1 [/ math]. Recuerde también la propiedad [math] \ xi_ {n} ^ {k} = (\ xi_ {n} ^ {1}) ^ k [/ math]

Se puede demostrar que existen exactamente [math] \ phi (n) [/ math] raíces primitivas de la unidad, a saber, aquellas que [math] \ mathrm {gcd} (n, k) = 1 [/ math]. Por otro lado, si [math] \ mathrm {gcd} (n, k) \ neq {1} [/ math], existe algún número entero positivo [math] c <n [/ math] tal que [math] k \ cdot {c} \ equiv {0} [/ math] mod [math] (n) [/ math], lo que significa que [math] (\ xi_n ^ k) ^ c = (\ xi_ {n} ^ {1 }) ^ {kc} = 1 [/ math], y dado que [math] c <n [/ math] la ecuación [math] (\ xi_n ^ k) ^ c [/ math] muestra que [math] \ xi_ { n} ^ {k} [/ math] no es una raíz primitiva.

Por lo tanto, si se pregunta cuáles son las raíces primitivas [matemáticas] n [/ matemáticas] de [matemáticas] 18 [/ matemáticas], la respuesta es [matemáticas] \ sqrt [n] {18} \ cdot {\ xi_ {n} ^ {k}} [/ math], donde [math] \ xi_ {n} ^ {k} [/ math] es una raíz [math] n [/ math] -th de la unidad tal que [math ] \ mathrm {mcd} (n, k) = 1 [/ math].

Answer 2