[matemáticas] x ^ {\ frac {1} {2}} + y ^ {\ frac {1} {2}} = 333 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]. ¿Cuál es el valor de [matemáticas] x + y [/ matemáticas]?

Answer 1

Si x e y son enteros, entonces solo hay dos posibles soluciones para x + y :

Solución 1 :

[matemáticas] x ^ {\ frac {1} {2}} + y ^ {\ frac {1} {2}} = 333 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {\ frac {1} {2}} + y ^ {\ frac {1} {2}} = 333 ^ {\ frac {1} {2}} + 0 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]

comparando ambos lados, [matemáticas] x + y = 333 [/ matemáticas]

Solución 2 :

[matemáticas] x ^ {\ frac {1} {2}} + y ^ {\ frac {1} {2}} = 3 * 37 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {\ frac {1} {2}} + y ^ {\ frac {1} {2}} = 2 * 37 ^ {\ frac {1} {2}} + 37 ^ {\ frac { 1} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {\ frac {1} {2}} + y ^ {\ frac {1} {2}} = 148 ^ {\ frac {1} {2}} + 37 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]

comparando ambos lados, [matemáticas] x + y = 148 + 37 = 185 [/ matemáticas]

Entonces, x + y = 333 o 185

Solución general:

Si x e y son números reales, entonces hay infinitas soluciones para x + y. Un grupo particular de solución puede ser dado por:

[matemáticas] x ^ {\ frac {1} {2}} + y ^ {\ frac {1} {2}} = 3 * 37 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {\ frac {1} {2}} + y ^ {\ frac {1} {2}} = a * 37 ^ {\ frac {1} {2}} + (3-a) * 37 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {\ frac {1} {2}} + y ^ {\ frac {1} {2}} = (a ^ 2 * 37) ^ {\ frac {1} {2}} + (( 3-a) ^ 2 * 37) ^ {\ frac {1} {2}} [/ math]

comparando ambos lados,

[matemáticas] x + y = a ^ 2 * 37 + (3-a) ^ 2 * 37 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + y = (a ^ 2 + (3-a) ^ 2) * 37 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] x + y = (a ^ 2 + (3-a) ^ 2) * 37 [/ matemáticas] donde a es algún número real en el intervalo [0, 3]

Esta es la trama para este grupo particular de solución.

En este eje Y representa x + y y el eje X representa un

Answer 2

[matemáticas] \ sqrt {333} = 3 \ sqrt {37} [/ matemáticas]

aunque eso no es importante. Solo lo noté.

Entonces

[matemáticas] \ sqrt {x} + \ sqrt {y} = 3 \ sqrt {37} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] \ sqrt {y} = 3 \ sqrt {37} – \ sqrt {x} [/ matemáticas]

Ahora

[matemáticas] (\ sqrt {y}) ^ 2 = (3 \ sqrt {37} – \ sqrt {x}) ^ 2 [/ matemáticas]

así

[matemáticas] y = 333–6 \ sqrt {37} \ sqrt {x} + x [/ matemáticas]

o

[matemáticas] -x + y = 333–6 \ sqrt {37} \ sqrt {x} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] -x + y + 2x = 333–6 \ sqrt {37} \ sqrt {x} + 2x [/ matemáticas]

nos deja con

[matemáticas] x + y = 333–6 \ sqrt {37} \ sqrt {x} + 2x [/ matemáticas]

Answer 3

x e y . 2 variables Por lo tanto, necesita al menos dos ecuaciones para obtener un valor finito para cada una.

Por lo tanto, en este caso, ¡el valor de x + y es infinito!

¡Infinitas combinaciones de x e y pueden satisfacer esta ecuación!

¡Votación a favor!

Answer 4

Ese valor no está determinado de forma exclusiva:

podríamos tener x = 333 e y = 0, en cuyo caso x + y = 333.

O podríamos tener x = y, en cuyo caso 2sqrt (x) = sqrt (333), entonces x + y = 333/2.

Por lo tanto, son posibles múltiples valores de la suma.

Answer 5

respuestas infinitas si [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son ​​reales

sin embargo, si los limita a ser enteros positivos, es fácil notar que solo pueden ser [matemáticas] 37 [/ matemáticas] y [matemáticas] 148 [/ matemáticas], por lo que su suma es [matemáticas] 185 [/ matemáticas] .

Para explicar esta observación, simplemente observe que [matemáticas] 333 = 9 \ veces 37 [/ matemáticas]

Para probar este hecho, debemos suponer [matemáticas] x = a ^ 2b [/ matemáticas] y [matemáticas] y = c ^ 2d [/ matemáticas], donde ambas [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] y [math] d [/ math] no son cuadrados (es razonable suponer que usando la factorización prima), además, tanto [math] b [/ math] como [math] d [/ math] no tienen factores cuadrados ( lo que significa que el exponente de los números primos en su factorización prima solo puede ser [matemática] 1 [/ matemática]), entonces obtendremos la siguiente ecuación

[matemáticas] a \ sqrt {b} + c \ sqrt {d} = 3 \ sqrt {37} [/ matemáticas]

lo que implica (al cuadrar ambos lados)

[matemáticas] a ^ 2b + c ^ 2d + 2ac \ sqrt {bd} = 333 [/ matemáticas]

como [math] a ^ 2b, c ^ 2d, 333,2ac [/ math] son ​​números enteros, obtenemos el hecho de que [math] \ sqrt {bd} [/ math] es al menos racional, pero dado que [math] bd [/ math] es un número entero, inmediatamente llegamos a la conclusión de que [math] bd [/ math] es un cuadrado (este hecho puede probarse fácilmente si supone que [math] bd = \ frac {p} {q} [/ math], donde [math] mcd (p, q) = 1 [/ math]).

Ahora, de acuerdo con nuestra suposición, los primos de [math] b [/ math] y [math] d [/ math] deben ser exactamente los mismos para garantizar que el exponente de los primos en la factorización prima de su producto sea [math] 2 [ /matemáticas]. En otras palabras, [math] b = d = p_1p_2 \ cdots p_s [/ math], donde [math] p_1, p_2, \ cdots, p_s [/ math] son ​​números primos distintos.

entonces la ecuación se convierte

[matemáticas] (a + c) ^ 2b = 3 ^ 2 \ veces 37 [/ matemáticas]

Debido a la factorización prima de [matemática] b [/ matemática], [matemática] b = 37 [/ matemática] o [matemática] b = 3 \ veces 37 [/ matemática], pero la última implica [matemática] ( a + c) ^ 2 = 3 [/ matemáticas], lo cual es imposible, por lo que la única solución posible es [matemáticas] b = 37 [/ matemáticas].

En consecuencia, obtenemos [matemáticas] a + c = 3 [/ matemáticas], y dado que ambos son enteros positivos, llegamos a la conclusión de que [matemáticas] (a, c) = (1,2) [/ matemáticas] o [ matemáticas] (2,1) [/ matemáticas].

Answer 6

Usaré (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab fórmula

“Agregue 1/2 * xy en ambos lados”

=> x ^ 1/2 + y ^ 1/2 + 1/2 * xy = 333 ^ 1/2 + 1/2 * xy

=> (x + y) ^ 1/2 = (2 (333 ^ 1/2) + xy) / 2

=> x + y = {(2 (333 ^ 1/2) + xy) / 2} ^ 2

si es necesario, avíseme si es necesario completarlo.

Answer 7

* A2A

Veo una ecuación con dos incógnitas. Entonces, un número infinito de soluciones son posibles.

Answer 8

Suponiendo que x, y son números reales o también pueden ser racionales,

Cuadratura,

(X ^ (1/2) + y ^ (1/2)) ^ (2) = (333 ^ (1/2)) ^ (2)

=> x + y + 2 ((xy) ^ (1/2)) = 333

=> x + y = 333 – 2 ((xy) ^ (1/2))

Como se trata de una ecuación en dos variables, existen soluciones infinitas sustituyendo xy por valores positivos.

Por ejemplo: x + y = 333 – 2 (25 ^ (1/2)) = 323

Answer 9

Si ambos números son entonces, deberíamos tener 2 ecuaciones para encontrar el valor único de xny orelse express x en términos de y y adivinar qué valor será correcto para esa ecuación.