Un círculo tiene la ecuación.
[matemáticas] (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 – 2ax + a ^ 2 + y ^ 2 – 2by + b ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 – 2ax – 2by = r ^ 2-x ^ 2 -y ^ 2 [/ matemáticas]
- ¿De qué maneras hay que demostrar [matemáticas] \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} F_i = F_ {n + 2} -F_2 [/ matemáticas] donde [matemáticas] F_n [/ matemáticas] es la [matemáticas] n ^ {\ text {th}} [/ math] número de Fibonacci?
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Llamaremos a nuestros puntos [matemáticas] (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3). [/ Matemáticas] Tenemos tres ecuaciones en tres incógnitas, [matemáticas] a, b [/ matemáticas] y [matemáticas] r [/ matemáticas].
[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 – 2ax_1 – 2by_1 = r ^ 2-x_1 ^ 2 -y_1 ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 – 2ax_2 – 2by_2 = r ^ 2-x_2 ^ 2 -y_2 ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 – 2ax_3 – 2by_3 = r ^ 2-x_3 ^ 2 -y_3 ^ 2 [/ matemáticas]
Restar pares elimina las incógnitas al cuadrado:
[matemáticas] 2a (x_2-x_1) + 2b (y_2 – y_1) = (x_2 ^ 2-x_1 ^ 2) + (y_2 ^ 2 – y_1 ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2a (x_3-x_2) + 2b (y_3 – y_2) = (x_3 ^ 2-x_2 ^ 2) + (y_3 ^ 2 – y_2 ^ 2) [/ matemáticas]
Eliminemos [matemática] b [/ matemática] por [matemática] (y_3 – y_2) [/ matemática] veces la primera ecuación menos [matemática] (y_2 – y_1) [/ matemática] veces la segunda.
[matemáticas] 2a (x_2-x_1) (y_3 – y_2) – 2a (x_3-x_2) (y_2 – y_1) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ quad = [(x_2 ^ 2-x_1 ^ 2) + (y_2 ^ 2 – y_1 ^ 2)] (y_3 – y_2) – [(x_3 ^ 2-x_2 ^ 2) + (y_3 ^ 2 – y_2 ^ 2)] (y_2 – y_1) [/ matemáticas]
[matemáticas] a = \ dfrac {(x_2 ^ 2-x_1 ^ 2 + y_2 ^ 2 – y_1 ^ 2) (y_3 – y_2) – (x_3 ^ 2-x_2 ^ 2 + y_3 ^ 2 – y_2 ^ 2) (y_2 – y_1)} {2 (x_2-x_1) (y_3 – y_2) – 2 (x_3-x_2) (y_2 – y_1)} [/ matemáticas]
Eso es un bocado. ¿Se puede simplificar? Parece que [math] 2x_2y_2 [/ math] cancela en el denominador. Debe haber una forma de solución que haga evidente la simetría entre los puntos de entrada. Te dejaré todo eso a ti.
Obtenemos [matemática] b [/ matemática] por simetría, intercambiando [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática]. Solo cambian dos factores en el numerador, y el denominador niega:
[matemáticas] b = \ dfrac {(x_2 ^ 2-x_1 ^ 2 + y_2 ^ 2 – y_1 ^ 2) (x_3 – x_2) – (x_3 ^ 2-x_2 ^ 2 + y_3 ^ 2 – y_2 ^ 2) (x_2 – x_1)} {2 (x_3-x_2) (y_2 – y_1) – 2 (x_2-x_1) (y_3 – y_2)} [/ matemáticas]
Una vez que hayamos encontrado el centro [matemática] (a, b), [/ matemática] [matemática] r ^ 2 [/ matemática] se da desde cualquier punto, digamos
[matemáticas] r ^ 2 = (x_1-a) ^ 2 + (y_1-b) ^ 2 [/ matemáticas]
Verificación: La verificación completa, asegurándose de que cada una de nuestras tres ecuaciones se cumpla en general, parece desalentadora. Probemos un ejemplo donde sabemos la respuesta, ¿qué tal el círculo unitario: [matemática] P1 (1,0), [/ matemática] [matemática] P2 (0,1), [/ matemática] [matemática] P3 (- 1,0). [/ Math] No puedo pedir números mucho más fáciles. Obtenemos
[matemáticas] a = \ dfrac {[0 -1 + 1 -0] (0 -1) – [1 -0 + 0 -1] (1 – 0)} {\ textit {algo}} = 0 \ quad \ marca de verificación [/ math]
De los factores comunes con [matemáticas] a [/ matemáticas], también es fácil ver [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas] también.
Demasiado fácil. Probemos el círculo unitario centrado en [math] (1,0). [/ Math]
[matemáticas] P1 (2,0), [/ matemáticas] [matemáticas] P2 (1,1), [/ matemáticas] [matemáticas] P3 (0,0). [/ matemáticas]
[matemáticas] a = \ dfrac {[1-2 ^ 2 + 1] (-1) – [-1 – 1] (1)} {2 (-1) (- 1) – 2 (-1) (1 )} = \ dfrac {2 – -2} {4} = 1 \ quad \ marca de verificación [/ math]
El numerador para [math] b [/ math] se resuelve en [math] (-2) (- 1) – (- 2) (- 1) = 0. \ quad \ marca de verificación [/ math]
OK, voy a renunciar mientras estoy por delante.
Les dije que les dejaría la forma simétrica de la solución, pero es domingo y tengo curiosidad. Multiplicamos uno:
[matemáticas] a = \ dfrac {(x_2 ^ 2-x_1 ^ 2 + y_2 ^ 2 – y_1 ^ 2) (y_3 – y_2) – (x_3 ^ 2-x_2 ^ 2 + y_3 ^ 2 – y_2 ^ 2) (y_2 – y_1)} {2 (x_2-x_1) (y_3 – y_2) – 2 (x_3-x_2) (y_2 – y_1)} [/ matemáticas]
[matemáticas] 2a = \ dfrac {(x_2 ^ 2 y_3 -x_1 ^ 2 y_3 + y_2 ^ 2 y_3 – y_1 ^ 2 y_3) – (x_2 ^ 2 y_2 -x_1 ^ 2 y_2 + y_2 ^ 2 y_2 – y_1 ^ 2 y_2 ) – [(x_3 ^ 2 y_2 -x_2 ^ 2 y_2 + y_3 ^ 2 y_2 – y_2 ^ 2 y_2) – (x_3 ^ 2 y_1 -x_2 ^ 2 y_1 + y_3 ^ 2 y_1 – y_2 ^ 2 y_1)]} {( x_2 y_3-x_1 y_3) – (x_2 y_2-x_1 y_2) – [(x_3 y_2 -x_2 y_2) – (x_3 y_1 -x_2 y_1)]} [/ matemática]
Solo los términos con todos los subíndices 2 son candidatos para la cancelación. ¡Todos lo hacen!
[matemáticas] 2a ({x_2 y_3-x_1 y_3 + x_1 y_2 -x_3 y_2 + x_3 y_1 -x_2 y_1}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = x_2 ^ 2 y_3 – x_1 ^ 2 y_3 + y_2 ^ 2 y_3 – y_1 ^ 2 y_3 + x_1 ^ 2 y_2 + y_1 ^ 2 y_2 -x_3 ^ 2 y_2 – y_3 ^ 2 y_2 + x_3 ^ 2 y_1 -x_2 ^ 2 y_1 + y_3 ^ 2 y_1 – y_2 ^ 2 y_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] = x_1 ^ 2 (y_2 – y_3) + x_2 ^ 2 (y_3 – y_1) + x_3 ^ 2 (y_1-y_2) + y_1 ^ 2 (y_2 -y_3) + y_2 ^ 2 (y_3 – y_1) + y_3 ^ 2 (y_1 – y_2) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) (y_2 – y_3) + (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2) (y_3 – y_1) + (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2) (y_1-y_2) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2a [{x_1 (y_2 – y_3) + x_2 (y_3 – y_1) + x_3 (y_1 – y_2)}] [/ matemáticas]
Entonces, nuestra solución totalmente simétrica (revertir los delta [math] y [/ math] para la estandarización) es
[matemáticas] a = \ dfrac {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) (y_3 – y_2) + (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2) (y_1 – y_3) + (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2) (y_2- y_1)} {2 [x_1 (y_3 – y_2) + x_2 (y_1 – y_3) + x_3 (y_2 – y_1)]} [/ matemáticas]
[math] b [/ math] se obtiene intercambiando [math] x [/ math] y [math] y [/ math] en lo anterior.