Cómo encontrar la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales

Answer 1

Gracias por el A2A. Comience convirtiendo esto en un sistema de seis ODE de primer orden mediante la introducción de nuevas variables dependientes [matemáticas] x_1 = x, \, x_2 = x ‘, \, x_3 = y, \, x_4 = y’, \, x_5 = z , \, x_6 = z ‘[/ math], donde el primo denota una derivada con respecto a [math] t [/ math]. El sistema resultante es entonces [matemáticas] x_1 ′ = x_2, \, x_2 ′ = 4x_1 + 2 x_5, \, x_3 ′ = x_4, \, x_4 ′ = 4x_3 + 6 x_5, \, x_5 ′ = x_6, \, x_6 ′ = 2x_1 + 6 x_3 + x_5 \ ,, [/ matemáticas]

o en forma de matriz:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {bmatrix} x_1 ′ \\ x_2 ′ \\ x_3 ′ \\ x_4 ′ \\ x_5 ′ \\ x_6 ′ \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 y 1 y 0 y 0 & 0 y 0 \\ 4 y 0 y 0 y 0 y 2 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 1 y 0 y 0 \\ 0 y 0 y 4 y 0 y 6 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 6 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \ end {bmatrix} [ /matemáticas]

Ahora necesita diagonalizar la matriz de coeficientes, es decir, encontrar sus valores propios y los vectores propios asociados. Para una matriz [matemática] 6 \ veces 6 [/ matemática], esta no es una tarea sencilla que hacer a mano, por lo que utilicé el sistema de álgebra computacional de código abierto Maxima (si tienes Mathematica o Maple disponible, estos funcionarán bien … No estoy afiliado a una empresa o universidad que proporcione ninguna de las dos y no pueda comprarlas). Maxima me da seis valores propios distintos, cuatro de ellos reales y dos conjugados complejos: [matemática] \ lambda = 3, -3, 2i, -2i, 2, -2 [/ matemática], con los vectores propios correspondientes (en transposición, o fila, formulario): [matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 3 y 3 y 9 y 5/2 y 15/2 \ end {bmatrix}, \ begin {bmatrix} 1 y -3 y 3 y -9 & 5/2 y -15/2 \ end {bmatrix}, \ begin {bmatrix} 1 y 2i y 3 y 6i y -4 y -8i \ end {bmatrix}, \ begin {bmatrix} 1 y -2i y 3 & – 6i y -4 y 8i \ end {bmatrix}, \ begin {bmatrix} 1 y 2 y -1/3 y -2 / 3 y 0 y 0 \ end {bmatrix}, \ begin {bmatrix} 1 y -2 & -1/3 & 2/3 & 0 & 0 \ end {bmatrix}. [/matemáticas]

A los valores propios corresponden las seis soluciones exponenciales linealmente independientes [matemáticas] e ^ {3t}, e ^ {- 3t}, e ^ {2it}, e ^ {- 2it}, e ^ {2t}, e ^ {- 2t } [/ math], y la solución general de este sistema homogéneo es una combinación lineal de los productos de las soluciones de valores propios con sus respectivos vectores propios. Entonces tenemos:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \ end {bmatrix} = C_1e ^ {3t} \ begin {bmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \\ 9 \\ 5/2 \\ 15/2 \ end {bmatrix} + C_2e ^ {- 3t} \ begin {bmatrix} 1 \\ – 3 \\ 3 \\ – 9 \\ 5/2 \\ – 15/2 \ end {bmatrix} + C_3e ^ {2it} \ begin {bmatrix} 1 \\ 2i \\ 3 \\ 6i \\ – 4 \\ – 8i \ end {bmatrix} + C_4e ^ {- 2it} \ begin {bmatrix } 1 \\ – 2i \\ 3 \\ – 6i \\ – 4 \\ 8i \ end {bmatrix} + C_5e ^ {2t} \ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ – 1/3 \\ – 2 / 3 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} + C_6e ^ {- 2t} \ begin {bmatrix} 1 \\ – 2 \\ – 1/3 \\ 2/3 \\ 0 \\ 0 \ end { bmatrix} [/ math]

Configurando cada [matemática] C_i = 1 [/ matemática], y notando que las soluciones que queremos son [matemática] x_1 = x, \, x_3 = y, \, x_5 = z [/ matemática], obtenemos finalmente

[matemáticas] \ begin {align} x & \, = \, e ^ {3t} + e ^ {- 3t} + e ^ {2it} + e ^ {- 2it} + e ^ {2t} + e ^ { -2t} \\ y & \, = \, 3e ^ {3t} + 3e ^ {- 3t} + 3e ^ {2it} + 3e ^ {- 2it} + 2e ^ {2t} – 2e ^ {- 2t} \\ z & \, = \, \ frac {5} {2} e ^ {3t} + \ frac {5} {2} e ^ {- 3t} – 4e ^ {2it} – 4e ^ {- 2it} \ end {align} [/ math]

Puede verificar que una variable con subíndice par proporcione la derivada correcta para la anterior con subíndice impar, es decir, [matemáticas] x_2 = x_1 ′, \, x_4 = x_3 ′, \, x_6 = x_5 ′ [/ matemáticas].

Answer 2

De acuerdo, ni siquiera estoy seguro de si estoy pensando correctamente, pero escribiré algo de todos modos. Veo que se nos da un sistema de segundo orden. La solución será larga de todos modos.

Deje [math] A = \ begin {pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 6 \\ 2 & 6 & 1 \ end {pmatrix} [/ math]

Requerimos los valores propios de [math] A [/ math]

Entonces resolvemos [math] det (\ lambda IA) = 0 [/ math]

[matemáticas] \ implica \ begin {vmatrix} \ lambda-4 & 0 & 2 \\ 0 & \ lambda-4 & 6 \\ 2 & 6 & \ lambda-1 \ end {vmatrix} = 0 [/ math]

[matemáticas] \ implica (\ lambda-4) \ {(\ lambda-4) (\ lambda-1) -36 \} + 2 \ {0–2 (\ lambda-4) \} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (\ lambda-4) \ {(\ lambda-4) (\ lambda-1) -36–4 \} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (\ lambda-4) (\ lambda ^ 2–5 \ lambda-36) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (\ lambda-4) (\ lambda-9) (\ lambda + 4) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ lambda = -4,4,9 [/ matemáticas]

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Para [math] \ lambda = -4 [/ math], tenemos

[matemáticas] \ begin {pmatrix} -8 & 0 & 2 \\ 0 & -8 & 6 \\ 2 & 6 & -5 \ end {pmatrix} v = \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} [/ math]

Dándonos el vector propio [matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \ end {pmatrix} [/ math]

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Para [math] \ lambda = 4 [/ math], tenemos

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 0 y 0 y 2 \\ 0 y 0 y 6 \\ 2 y 6 y 3 \ end {pmatrix} v = \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix }[/matemáticas]

Dándonos el vector propio [matemáticas] \ begin {pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix} [/ math]

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Para [math] \ lambda = 9 [/ math], tenemos

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 5 y 0 y 2 \\ 0 y 5 y 6 \\ 2 y 6 y 8 \ end {pmatrix} v = \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix }[/matemáticas]

Dándonos el vector propio [matemáticas] \ begin {pmatrix} -2 \\ – 6 \\ 5 \ end {pmatrix} [/ math]

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Solución general:

[matemáticas] \ begin {pmatrix} x ‘\\ y’ \\ z ‘\ end {pmatrix} = c_1 \ begin {pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \ end {pmatrix} e ^ {- 4t} + c_2 \ begin {pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix} e ^ {4t} + c_3 \ begin {pmatrix} -2 \\ – 6 \\ 5 \ end {pmatrix} e ^ {9t} [/ matemáticas]

Como todo [math] c_i = 1 [/ math] (dado), por lo tanto

[matemáticas] \ begin {pmatrix} x ‘\\ y’ \\ z ‘\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \ end {pmatrix} e ^ {- 4t} + \ begin {pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix} e ^ {4t} + \ begin {pmatrix} -2 \\ – 6 \\ 5 \ end {pmatrix} e ^ {9t} [/ math]

lo que significa que simplemente tenemos

[matemáticas] \ begin {pmatrix} x ‘\\ y’ \\ z ‘\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} e ^ {- 4t} + 3e ^ {4t} -2e ^ {9t} \\ 3e ^ {- 4t} + e ^ {4t} -6e ^ {9t} \\ 4e ^ {- 4t} + 5e ^ {9t} \ end {pmatrix} [/ math]

y resolver esto nos da

[matemáticas] \ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} – \ dfrac {1} {4} e ^ {- 4t} + \ dfrac {3} {4} e ^ {4t} – \ dfrac {2} {9} e ^ {9t} + k_1 \\ – \ dfrac {3} {4} e ^ {- 4t} + \ dfrac {1} {4} e ^ { 4t} – \ dfrac {2} {3} e ^ {9t} + k_2 \\ – e ^ {- 4t} + \ dfrac {5} {9} e ^ {9t} + k_3 \ end {pmatrix} [/ matemáticas]

No estoy seguro si puedo usar [math] c_i [/ ​​math] ‘s nuevamente en lugar de [math] k_i [/ ​​math]’ s, en cuyo caso ya debería saber cómo será la solución final.

Gracias por la A2A