Cómo escribir sistemas LTI como ecuaciones de diferencia

Estoy oxidado. Llamemos al conector entre [matemática] H_1 [/ matemática] y [matemática] H_2 [/ matemática] la secuencia [matemática] v (n). [/ Matemática]

[matemáticas] v (n) = x (n) + x (n-1) + \ frac 1 2 v (n-1) [/ matemáticas]

[matemática] V (z) = X (z) + z ^ {- 1} X (z) + \ frac 1 2 z ^ {- 1} V (z) [/ matemática]

[matemática] V (z) (1 – \ frac 1 2 z ^ {- 1}) = X (z) (1 + z ^ {- 1}) [/ matemática]

[matemáticas] H_1 (z) = \ dfrac {V (z)} {X (z)} = \ dfrac {1 + z ^ {- 1}} {1 – \ frac 1 2 z ^ {- 1}} [ /matemáticas]

[matemáticas] y (n) = v (n) + \ frac 1 2 v (n-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] Y (z) = V (z) + \ frac 1 2 z ^ {- 1} V (z) = V (z) (1 + \ frac 1 2 z ^ {- 1}) [/ matemáticas]

[matemáticas] H_2 (z) = \ dfrac {Y (z)} {V (z)} = 1 + \ frac 1 2 z ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {Y (z)} {X (z)} = H (z) = H_1 (z) H_2 (z) = (\ dfrac {1 + z ^ {- 1}} {1 – \ frac 1 2 z ^ {- 1}}) (1 + \ frac 1 2 z ^ {- 1}) [/ matemáticas]

[matemáticas] Y (z) (1 – \ frac 1 2 z ^ {- 1}) = X (z) (1 – \ frac 1 2 z ^ {- 2}) [/ matemáticas]

[matemática] y (n) – \ frac 1 2 y (n-1) = x (n) – \ frac 1 2 x (n-2) [/ matemática]

Tenemos [matemáticas] N = 1, a_0 = 1, a_1 = – \ frac 1 2, M = 2, b_0 = 1, b_1 = 0, b_2 = – \ frac 1 2 [/ matemática]