La idea básica que se debe explotar es que los operadores de derivadas parciales (lineales) de primer orden [math] L _ {\ sigma} [/ math] pueden interpretarse como campos vectoriales, que pueden interpretarse como generadores de difeomorfismos. La existencia de una solución [matemática] L _ {\ sigma} u = 0 [/ matemática] sobre un conjunto abierto del múltiple (en el que se definen los operadores) es, por lo tanto, equivalente a la existencia de una foliación del conjunto abierto en submanifolds que son órbitas de los difeomorfismos generados por los vectores [math] L _ {\ sigma} [/ math]. Esto debe ser así, porque cada uno de estos submanifolds se puede ver como una hiperesuperficie coordinada correspondiente a la constante [matemática] u [/ matemática].
Para garantizar que tal foliación del conjunto abierto en las órbitas de los difeomorfismos generados por [math] L _ {\ sigma} [/ math] sea posible, debemos estipular que caminar alrededor de un ‘cuadrilátero’ definido por segmentos infinitesimales que se encuentran a lo largo de cualquier dos de los campos vectoriales especificados, digamos [math] \ epsilon L_ \ mu [/ math] y [math] \ epsilon L_ \ nu [/ math], no nos permiten ‘desviarnos’ de la hiperesuperficie de coordenadas que estamos se supone que debe cumplir. Dado que el conmutador, [math] \ epsilon ^ 2 [L_ \ mu, L_ \ nu] [/ math] es esencialmente el segmento adicional que se requiere para que se cierre el ‘cuadrilátero’ (ver imagen a continuación), esta condición es equivalente a El requisito de que el conmutador [matemática] [L_ \ mu, L_ \ nu] [/ matemática] sea una combinación lineal de los campos vectoriales [matemática] L _ {\ sigma} [/ matemática] es decir, es tangente a la hiperesuperficie coordinada. En otras palabras, necesitamos tener
[matemáticas] [L_ \ mu, L_ \ nu] = c _ {\ mu \ nu} ^ {\ sigma} L_ \ sigma [/ matemáticas]
donde [math] c _ {\ mu \ nu} ^ {\ sigma} [/ math] son funciones con valores reales sobre el conjunto abierto.
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En cuanto a la interpretación geométrica del conmutador de dos campos vectoriales, aquí hay una imagen de Gaez y Muniain Gauge Fields, Knots and Gravity .
