¿Cómo resuelvo la ecuación diferencial [matemáticas] y ‘+ y = (\ cos (x) – \ sin (x)) \, y ^ 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Primero mueva todas las y al lado izquierdo. Dividiendo por y ^ 2, la ecuación se convierte en

[matemáticas] \ frac {y ‘} {y ^ 2} + \ frac {1} {y} = \ cos x – \ sin x [/ matemáticas]

Ahora observe que y ‘/ y ^ 2 = – (1 / y)’. Haz la transformación y = 1 / u. Como y ‘= -1 / u ^ 2 u’, la ecuación diferencial se convierte en

[matemáticas] u ‘- u = \ sen x – \ cos x [/ matemáticas]

Ahora la solución general a la ecuación homogénea [matemática] u ‘- u = 0 [/ matemática] es [matemática] Ce ^ {x} [/ matemática] donde C es una constante. Entonces solo necesitamos encontrar una solución particular, y [math] – \ sen x [/ math] claramente funciona. Entonces la solución general es [math] u (x) = Ce ^ {x} – \ sen x [/ math], entonces la solución para y = 1 / u es

[matemáticas] y (x) = \ frac {1} {Ce ^ {x} – \ sin x} [/ matemáticas]

Nota: “hice trampa” resolviendo en Mathematica para obtener la respuesta, y luego trabajando hacia atrás para ver cómo hacerlo a mano. Traté de mostrar un método que podría haber funcionado sin ayuda de la computadora.

Editar: Ahora que lo pienso, esta es una ecuación diferencial de Bernoulli de la forma y ‘+ P (x) y = Q (x) y ^ n. Estos siempre se pueden convertir en una ecuación lineal utilizando el truco básico que utilicé aquí.

Answer 2

El problema es una ecuación de Riccati, ya que es de la forma

Siguiendo los pasos para reducirlo a una ecuación diferencial lineal de segundo orden (vea la ecuación de Riccati), puede resolverlo a mano. Puede reducir la ecuación u [matemática] u ” + (1- \ frac {sin (x) + cos (x)} {sin (x) -cos (x)}) u ‘= 0 [/ matemática] a una ecuación de primer orden haciendo la sustitución adicional [math] s = u ‘[/ math], de modo que [math] s’ + (1- \ frac {sin (x) + cos (x)} {sin ( x) -cos (x)}) s = 0 [/ matemáticas].

Si observa que el segundo término tiene la forma [matemática] \ frac {q ‘} {q} [/ matemática], entonces está claro que [matemática] s = Ce ^ {- (x-ln (sin (x) -cos (x)))} [/ math], o [math] s = Ce ^ {- x} (sin (x) -cos (x)) [/ math].

Es bastante simple encontrar [math] u = e ^ {- x} sin (x) + C [/ math] por integración, y la solución (ver Wikipedia) está dada por [math] y (x) = – \ frac {u ‘} {q_2u} [/ math], donde [math] q_2 = – (sin (x) -cos (x)) [/ math].

Esto se reduce a la respuesta del Usuario de Quora, [matemática] y (x) = \ frac {1} {Ce ^ {x} – \ sin x} [/ matemática].

Answer 3

Sustituya [matemáticas] y = – \ csc x [/ matemáticas]. En el lado izquierdo, obtienes

[matemáticas] \ csc x \ cot x – \ csc x = \ csc ^ {2} x (\ frac {\ sin x} {\ tan x} – \ sin x) [/ math]
[matemáticas] = y ^ {2} (\ cos x – \ sin x) [/ matemáticas]

según sea necesario. Sin embargo, no sé si hay una forma cerrada para la solución general.

Answer 4

Como se menciona en otras respuestas, esta es una ecuación diferencial de Bernoulli. Se puede resolver tomando [math] \ displaystyle v (x) = \ frac {1} {y (x)} [/ math], y luego reemplazando para obtener la ecuación diferencial:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dv (x)} {dx} – v (x) = \ sin (x) – \ cos (x) [/ math]

Se utiliza el siguiente factor integrador:

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {\ int – 1 \, dx} = e ^ {- x} [/ matemáticas]

Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por el factor integrador y desarrollando:

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {- x} \ frac {dv (x)} {dx} + \ frac {d} {dx} e ^ {- x} v (x) = – \ left (e ^ {- x} (\ cos (x) – \ sin (x)) \ right) [/ math]

Y:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} (e ^ {- x} v (x)) = -e ^ {- x} (\ cos (x) – \ sin (x)) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {d} {dx} e ^ {- x} v (x) \, dx = \ int -e ^ {- x} (\ cos (x) – \ sin (x) ) \, dx [/ math]

Integrando ambos lados y desarrollando:

[matemáticas] \ displaystyle v (x) = c_ 1 e ^ x – \ sin (x) [/ matemáticas]

Reemplazando y resolviendo para [math] y (x) [/ math], se obtiene la siguiente solución:

[matemáticas] \ grande \ color {rojo} {y (x) = \ frac {1} {v (x)} = \ frac {1} {c_ 1 e ^ x – \ sin (x)}} [/ matemáticas ]

Este problema se puede resolver con Mathematica escribiendo:

  DSolve [y '[x] + y [x] == (Cos [x] - Sin [x]) (y [x]) ^ 2, y [x], x]

La solución también se puede encontrar con Maple escribiendo:

  oda: = diff (y (x), x) + y (x) = (cos (x) -sin (x)) * y (x) ^ 2
 dsolve (oda)

Para obtener más información, consulte también los siguientes enlaces relacionados:

Ecuación diferencial de Bernoulli – Wikipedia

Ecuación diferencial de Bernoulli

Answer 5

También puede usar uno de los productos de software para realizar una manipulación matemática formal. Así es como utilicé la biblioteca sympy de Python:
de importación sympy *
f = Función (‘f’)
x = símbolos (‘x’)
print dsolve (Derivado (f (x), x) + f (x) – (cos (x) -sin (x)) * (f (x)) ** 2, f (x), pista = ‘todos’ )
La sugerencia = allthingy está ahí para indicarle a la rutina dsolve que es probar todos sus enfoques para resolver las ecuaciones que se devuelven en una estructura de datos conocida como diccionario. Miré a través de ellos y encontré este, llamado ‘Grupo de mentiras’:

f (x) == 1 / (C1 * exp (x) – sin (x))

(Quizás debería mencionar que la línea de código que comienza con print aparece como dos líneas aquí).

Answer 6

Este es un Bernoullis de la forma, [matemática] \ frac {dy} {dx} + P (x) y = Q (x) y ^ n [/ matemática]

[matemática] P (x) = 1, Q (x) = \ cos (x) – \ sin (x), y ^ n = y ^ 2 [/ matemática]

Ahora, dividimos entre [matemática] y ^ 2, [/ matemática]

[matemáticas] y ^ {- 1} \ frac {d} {dx} + y ^ {- 1} = \ cos (x) – \ sin (x) [/ matemáticas]

Ahora, pon, [matemáticas] y ^ {- 1} = z, [/ matemáticas]

Usando la regla de poder, [matemática] \ frac {1} {(- 1)} \ frac {dy} {dx} = \ frac {dz} {dx} = – \ frac {dy} {dx} [/ math]

Ahora, dividimos entre [matemáticas] -1 [/ matemáticas], para obtener [matemáticas] \ frac {dz} {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dz} {dx} -z = \ sin (x) – \ cos (x) [/ matemáticas]

Ahora, obtenemos una ecuación lineal perfecta, [matemáticas] P (x) = – 1, Q (x) = \ sin (x) – \ cos (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ int P (x) dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {- x} [/ matemáticas]

[matemáticas] ze ^ {- x} = \ int e ^ {- x} (\ sin (x) – \ cos (x)) dx [/ matemáticas]

Ahora, escribimos [math] \ sin (x) [/ math] como [math] \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} [/ math] y [math] \ cos ( x) [/ math] como [math] \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} [/ math]. Después de la simplificación

[matemáticas] ze ^ {- x} = \ frac {1} {2i} \ int e ^ {- x} (e ^ {ix} -e ^ {- ix} -ie ^ {ix} -ie ^ {- ix}) dx [/ math]

[matemáticas] ze ^ {- x} = \ frac {1} {2i} \ int e ^ {(1-i) x} -e ^ {- (i + 1) x} -ie ^ {(i-1 ) x} -ie ^ {- (i + 1) x} dx [/ math]

Mayor integración,

[matemáticas] ze ^ {- x} = \ frac {1} {2i} (\ frac {e ^ {(1-i) x}} {1-i} + \ frac {e ^ {- (i + 1 ) x}} {i + 1} + \ frac {ie ^ {(i-1) x}} {1-i} + \ frac {ie ^ {- (i + 1) x}} {i + 1} )[/matemáticas]

Lo cual se simplifica aún más,

[matemáticas] ze ^ {- x} = e ^ {- x} \ cos (x) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] z = \ cos (x) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 = \ cos (x) + C [/ matemáticas]

Answer 7

Después de la sustitución sugerida por Jack [matemáticas] y = \ frac {1} {u} [/ matemáticas] y obtener

u’-u = cos x-sinx Prefiero usar el método del operador. [matemáticas] D = \ frac {d} {dx} [/ matemáticas]

(D-1) u = cos x- sinx

La función complementaria se obtiene por m-1 = 0 Por lo tanto, [matemática] u_c = C e ^ x [/ matemática]

Integral particular

[matemáticas] u_p = \ frac {1} {D-1} (\ sen x- \ cos x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {D + 1} {D ^ 2-1} (\ sen x- \ cos x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {D ^ 2-1} (D + 1) (\ sen x- \ cos x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {D ^ 2-1} (\ cos x + \ sin x + \ sin x – \ cos x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {D ^ 2-1} (2 \ sen x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {- 1-1} (2 \ sen x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ sin x [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] u = u_c + u_p = C e ^ x- \ sin x [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ frac {1} {C e ^ x- \ sin x} [/ matemáticas]