Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función y sus derivadas. Nos ayuda a describir matemáticamente la dinámica del mundo, el cambio que experimentamos en la vida cotidiana. Necesita una base sólida en el cálculo de una sola variable y un buen conocimiento práctico de las técnicas de integración y diferenciación. Uno de los mejores libros será Boyce y DiPrima (pero todos son buenos, sinceramente). Enlace: Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valor límite, 10ª edición: William E. Boyce, Richard C. DiPrima: 9780470458310.
Hacerse rico (lentamente)
¿Cómo podemos usarlo? Hablemos de la banca.
Abre una cuenta en Quora Employees Federal Credit Union para poder depositar sus créditos y obtener intereses sobre ellos. Quora tiene una tasa de interés (anual) del 5%. Usted interpreta que cada año, los créditos en su cuenta (el principal) aumentarán en un 5% de lo que esté allí actualmente. ¿Cuál es la ecuación (de movimiento) que describe este cambio? ¡DiffEq puede ayudar aquí!
Claramente vemos que tenemos dos variables, una independiente (tiempo – en años) y una dependiente (principal – en créditos). En otras palabras, [matemática] P (t) [/ matemática] donde [matemática] P [/ matemática], el principal, literalmente depende de [matemática] t [/ matemática], la variable independiente. ¿Entiendelo? ¿No? Lee esto de nuevo. ¿Si? Genial, sigamos adelante.
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- ¿Es posible resolver las siguientes ecuaciones diferenciales acopladas analíticamente? [matemáticas] \ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} = f \ left (x, y, \ frac {dx} {dt}, \ frac {dy} {dt} \ right) [ / matemáticas] [matemáticas] \ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}} = g \ left (x, y, \ frac {dx} {dt}, \ frac {dy} {dt} \ derecha) [/ matemáticas]
Entonces, cada año, sabemos que el cambio en el principal, [math] \ frac {\ text {d} P (t)} {\ text {d} t} [/ math], es el 5% del principal actual en ese tiempo [matemática] 0.05P (t) [/ matemática]. De hecho, podemos escribir la ecuación diferencial basada en esta afirmación:
[matemáticas] \ frac {\ text {d} P (t)} {\ text {d} t} = 0.05 P (t) [/ matemáticas]
o escrito en una forma común y homogénea
[matemática] P ‘- 0.05 P = 0 [/ matemática]
Eliminamos la variable independiente ya que es solo una cosa de notación aquí. Lo que hemos escrito es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, homogénea de primer orden . Es de primer orden porque la derivada más alta de [math] P [/ math] es la primera derivada, es homogénea ya que es igual a cero en esta forma (no hay constantes o variables independientes). Es lineal ya que no estamos involucrando cuadrados o potencias superiores o multiplicando variables dependientes juntas. Es una ecuación diferencial ordinaria porque hay una variable independiente.
Podemos usar el cálculo para resolver esto. De hecho, casi todas las ecuaciones diferenciales se trata de memorizar técnicas para resolver patrones de ecuaciones diferenciales. Si esas técnicas fallan, podemos intentar el análisis numérico para ver los comportamientos de la solución, o simplemente adivinar una solución. Si tenemos una solución y funciona, entonces tenemos teoremas que garantizan la unicidad, etc.
Así que solucionémoslo. Prefiero la primera forma del diffeq que escribí. Es “separable”, lo que significa que podemos hacer lo siguiente (cambié [math] t \ a \ tau [/ math] por razones que se aclararán pronto):
[matemática] \ frac {\ text {d} P (\ tau)} {\ text {d} \ tau} = 0.05 P (\ tau) [/ matemática]
[matemáticas] \ frac {\ text {d} P (\ tau)} {P (\ tau)} = 0.05 \ text {d} \ tau [/ math]
Integra ambos lados
[matemáticas] \ int_ {P (0)} ^ {P (t)} \ frac {\ text {d} P (\ tau)} {P (\ tau)} = \ int_0 ^ t 0.05 \ text {d} \ tau [/ matemáticas]
[matemática] \ left. \ ln [P (\ tau)] \ right | _ {P (0)} ^ {P (t)} = \ left.0.05 \ tau \ right | _0 ^ t [/ math]
[matemática] \ ln (P (t)) – \ ln (P (0)) = 0.05 t [/ matemática]
Haz algunos cálculos rápidos y eleva ambos lados por exponencial:
[matemáticas] P (t) = P (0) e ^ {0.05t} [/ matemáticas]
Esta es la ecuación básica de la tasa de interés principal. Volvamos a nuestra historia. Abre una cuenta en Quora Employees Federal Credit Union para poder depositar sus créditos y obtener intereses sobre ellos. Quora tiene una tasa de interés (anual) del 5%. Inicialmente deposito un capital inicial de [matemáticas] P (0) [/ matemáticas] créditos. Después de [math] t [/ math] años, tendré créditos [math] P (t) [/ math] en el banco.
Si comienzo con [matemática] P (0) = 1000 [/ matemática] créditos en el banco, tendré [matemática] P (t = 5) = 1284.03 [/ matemática] créditos después de 5 años.
¿Cómo podemos ampliar esta idea? Digamos que Marc Bodnick, siendo el malvado que es (y rico en créditos) decide dar a todos los que abren una cuenta con QEFCU 500 créditos al año además del interés del 5%. ¿Cómo encontramos [math] P (t) [/ math] ahora? ¡Solo agrégalo a nuestro diffeq!
[matemática] \ frac {\ text {d} P (\ tau)} {\ text {d} \ tau} = 0.05 P (\ tau) + 500 [/ matemática]
Resolver esto usando métodos de ecuaciones diferenciales nos da
[matemática] P (t) = -10000 + [P (0) + 10000] e ^ {0.05 t} [/ matemática]
Si empiezo con [matemáticas] P (0) = 1000 [/ matemáticas] créditos en el banco, tendré [matemáticas] P (t = 5) = 4124.28 [/ matemáticas] créditos después de 5 años. Fácilmente tripliqué mis créditos gracias a la generosidad de Marc.