Muchos fenómenos físicos están representados por ecuaciones diferenciales parciales. Entonces se puede formar una forma de argumentar a favor o en contra del determinismo en función de si las condiciones de límite fijas implican o no una solución única para tales ecuaciones diferenciales. Además, si el “tiempo” es una de las variables involucradas en la ecuación, podríamos basar un argumento en si la fijación de la “historia” de la solución implica la unicidad de su “futuro”.
Ahora daré un ejemplo muy simple y poco realista de esto, en aras de la demostración. Considere la siguiente ecuación diferencial:
[matemáticas] t ^ 2 \ cdot f ‘(t) – f (t) = 0 [/ matemáticas]
Consideremos [math] t [/ math] (la entrada para [math] f [/ math]) como representación del tiempo, y el valor de la función de [math] f [/ math] como representación de alguna propiedad física (como la posición de una partícula o algo similar; nuevamente, este es un ejemplo demasiado simplificado). Con esto, arregle el “historial” de [math] f [/ math] especificando [math] f ^ {(n)} (t) = 0 [/ math] para todos [math] t \ leq 0 [/ math ] y todos los enteros [math] n \ geq 0 [/ math]. (Como nota, [math] f ^ {(n)} (t) [/ math] es la derivada [math] n [/ math] th de [math] f [/ math].)
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Ahora, construya una función, [math] g [/ math], de la siguiente manera:
[matemática] g (t) = e ^ {- 1 / t} [/ matemática] para [matemática] t> 0 [/ matemática],
[matemática] g (t) = 0 [/ matemática] para [matemática] t \ leq 0 [/ matemática].
Esta función está limitada entre 0 y 1, y es infinitamente diferenciable. (Consulte Función suave no analítica para la prueba.) En particular, cada derivada de [math] g [/ math] en [math] t = 0 [/ math] es 0.
Ahora, uno puede mostrar que [math] g [/ math] es una solución a la ecuación diferencial anterior. Sin embargo, la función [matemáticas] h (t) = 0 [/ matemáticas] (para todos [matemáticas] t [/ matemáticas]) también es una solución de la ecuación diferencial. Entonces, aunque conocemos y especificamos la “historia” completa ([matemáticas] t \ leq 0 [/ matemáticas]) de [matemáticas] f [/ matemáticas], aún no podemos determinar el “futuro” ([matemáticas] t> 0 [/ math]) de [math] f [/ math]. Si este tipo de cosas fuera posible para una ecuación diferencial de la “vida real”, entonces uno podría usarla para defender el indeterminismo.
Por otro lado, a menudo es matemáticamente posible demostrar que las condiciones límite o “históricas” fuerzan un “futuro” único para las soluciones de ecuaciones diferenciales particulares. Incluso en situaciones como la anterior, ciertas restricciones “razonables” agregadas pueden forzar un “futuro” único para las soluciones (es decir, restricciones que quizás deberían agregarse). En situaciones de la “vida real”, este suele ser el caso. Uno podría usar tal singularidad para abogar por el determinismo.
Nuevamente, quiero reiterar fuertemente la simplicidad de esta respuesta. Además, hay muchas otras preguntas que deben hacerse más allá de las ecuaciones diferenciales antes de que el tema del determinismo pueda ser tocado realmente. Para una mejor y más exhaustiva discusión de este y otros temas relacionados, recomendaría altamente “A Primer on Determinism” de John Earman. (manual sobre determinismo – Búsqueda de Google)