Deje que [math] f [/ math] sea al menos [math] n-1 [/ math] veces diferenciable en algún intervalo que contenga el punto [math] x_ {0} [/ math], y al menos [math] n [/ math ] veces diferenciables en [math] x_ {0} [/ math]. Se nos da [matemática] f ^ {(i)} (x_ {0}) = 0 [/ matemática] para [matemática] 1 \ leq i \ leq n-1 [/ matemática]. Analicemos el caso donde [math] f ^ {(n)} (x_ {0})> 0 [/ math]; el otro es similar simplemente cambiando [matemática]> [/ matemática] o [matemática] \ geq [/ matemática] con [matemática] <[/ matemática] o [matemática] \ leq [/ matemática].
Por la definición de la derivada, tenemos, para un pequeño real [math] \ delta> 0 [/ math], un cierto [math] \ epsilon> 0 [/ math] real tal que, siempre que [math] | x- x_ {0} | <\ epsilon [/ math] y [math] x \ neq x_ {0} [/ math], tenemos, recordando que [math] f ^ {(n-1)} (x_ {0} ) = 0 [/ matemáticas],
[matemáticas] f ^ {(n)} (x_ {0}) – \ delta \ leq \ frac {f ^ {(n-1)} (x)} {x-x_ {0}} \ leq f ^ { (n)} (x_ {0}) + \ delta [/ math]
Como [math] \ delta [/ math] puede tomarse arbitrariamente pequeño, vemos que existe un intervalo abierto [math] I [/ math] que contiene [math] x_ {0} [/ math]
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tal que [matemáticas] \ frac {f ^ {(n-1)} (x)} {(x-x_ {0})}> 0 [/ matemáticas] para todas [matemáticas] x \ en I – \ {x_ {0} \} [/ matemáticas]
Vemos que se forma un patrón. De hecho, intentemos probar el siguiente lema:
- Para [math] 1 \ leq k \ leq n-1 [/ math], existe un intervalo [math] I [/ math] que contiene [math] x_ {0} [/ math] tal que [math] \ frac { f ^ {(nk)} (x)} {(x-x_ {0}) ^ {k}}> 0 [/ matemáticas] para todas [matemáticas] x \ en I – \ {x_ {0} \} [ /matemáticas]
Podemos inducir hacia atrás en [math] k [/ math]. El caso base [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas] está probado. Suponga que la hipótesis está probada para [matemáticas] k = p [/ matemáticas], entonces existe un intervalo [matemáticas] I [/ matemáticas] de la forma definida. Por el teorema del valor medio, tenemos, para [matemáticas] x \ en I – \ {x_ {0} \} [/ matemáticas]
[math] \ frac {f ^ {(np-1)} (x)} {x-x_ {0}} = f ^ {(np)} (q) [/ math] para algunos [math] q \ in I – \ {x_ {0} \} [/ math]. Por lo tanto, obtenemos, para todas esas [matemáticas] x \ en I – \ {x_ {0} \} [/ matemáticas],
[matemáticas] \ frac {f ^ {(np-1)} (x)} {(x-x_ {0}) ^ {p + 1}}> 0 [/ matemáticas]
Esto cierra la inducción.
Podemos extender este lema a [matemática] p = n [/ matemática] (que no expliqué por razones de composición tipográfica), en cuyo caso el único cambio de enunciado es que [matemática] f (x_ {0}) [/ matemática] no se desvanece. Cuando [math] p = n [/ math], tenemos la existencia de un intervalo que contiene [math] x_ {0} [/ math] donde [math] \ frac {f (x) -f (x_ {0}) } {(x-x_ {0}) ^ {n}}> 0 [/ math] para todos [math] x \ neq x_ {0} [/ math]. Cuando [math] n [/ math] es par, [math] f (x)> f (x_ {0}) [/ math] independientemente del signo de [math] x-x_ {0} [/ math], y, por lo tanto, [math] f [/ math] tiene un mínimo local en [math] x_ {0} [/ math]. Cuando [matemática] n [/ matemática] es impar, [matemática] f (x)> f (x_ {0}) [/ matemática] cuando [matemática] x> x_ {0} [/ matemática] y [matemática] f (x) <f (x_ {0}) [/ math] cuando [math] x <x_ {0} [/ math] y, por lo tanto, [math] x_ {0} [/ math] es un punto de referencia.