¿Cuál es un ejemplo de un sistema interesante modelado por una ecuación diferencial mayor que el segundo orden?

Answer 1

Saltando de la respuesta de David Kahana y de mi propia experiencia, cuando modelas ondas de fluidos conductores en canales poco profundos bajo una fuerza de presión arbitraria (desde arriba de la superficie libre del fluido) y con un Campo eléctrico uniforme (desde el infinito arriba), obtienes, como una aproximación de orden inicial fuera de la superficie plana (sin ondas, tomamos un pequeño purtubation de la solución trivial), obtienes

[matemáticas] \ eta_t + \ frac {c_0 h ^ 4} {90} \ eta_ {xxxxx} + \ frac {3c_0} {2h} \ eta \ eta_x + (\ frac {1} {3} – \ tau) \ frac {c_0 h ^ 2} {2} \ eta_ {xxx} [/ math]
[matemáticas] + \ frac {E_b c_0 h} {2} H [\ eta_ {xx}] + \ frac {c_0} {2 \ rho g} P_x = 0 [/ matemáticas]

para superficie libre [math] \ eta = f (x, t) [/ math]. ¡La razón por la que relacioné esto con la respuesta de David Kahana es que la ecuación de KdV está aquí! Si descuidamos el término de presión (y su derivada aquí) junto con la configuración [matemática] E_b = 0 [/ matemática], obtenemos la ecuación KdV de quinto orden, que también produce soluciones de ondas solitarias.

Puede notar que hay algunas cosas raras conectadas en la ecuación. Tomando término por término (desde la izquierda) podemos ver que la ecuación es un
(1) Ecuación diferencial parcial
(2) de 5to orden
(3) no lineal
(4) (omita el tercer término) una ecuación integro-diferencial (es decir, la Transformada de Hilbert de la segunda derivada de la función de superficie libre)
(5) y no es homogéneo.

Puede imaginar que este es un PDE difícil de resolver, y estaría en lo cierto. Hasta ahora, solo he encontrado (y lo he hecho yo mismo) trabajo computacional en la ecuación.

Answer 2

Un ejemplo interesante puede ser la ecuación de Navier Stokes para flujo 2d usando la función de flujo.

La ecuación es el cuarto orden con términos no lineales proporcionales al número de Reynolds: la condición límite relaciona el gradiente de la función de flujo.

La ecuación es sensible al número de Reynolds y la solución puede investigarse en varias geometrías o métodos.

Answer 3

Un ejemplo podría ser la ecuación para la desviación estática de una viga elástica delgada, que se describe mediante una ecuación diferencial ordinaria de cuarto orden llamada ecuación de Euler-Bernoulli:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} (EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2}) = q (x) [/ matemáticas]

E es el módulo elástico, I es el momento de inercia superficial de la viga, y q es una fuerza de carga distribuida a lo largo de la viga, y la solución de la ecuación [matemática] w (x) [/ matemática] da el desviación de la viga.

Sin embargo, la ecuación dinámica para un haz es solo de segundo orden en derivadas de tiempo.

Otro ejemplo famoso sería la ecuación de Korteweg-deVries, que es una ecuación diferencial parcial no lineal de orden superior que describe, entre otros sistemas, el movimiento de las ondas superficiales en un canal poco profundo:

[math] \ partial_t \ phi + \ partial ^ 3_x \ phi + 6 \ phi \ partial_x \ phi = 0 [/ math].

Answer 4

La ecuación de Cahn-Hilliard ( http://en.m.wikipedia.org/wiki/C …), que es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden, puede describir un modelo útil para la separación de fases.