¿Cuáles son las 10 ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas-elípticas acopladas, no lineales, representadas por las ecuaciones de campo de Einstein, todas completamente escritas?

Answer 1

[matemáticas] G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = \ kappa T _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]

¿Ves todos esos subíndices [math] \ mu \ nu [/ math]? Esos son índices; y cada uno de [math] \ mu [/ math] y [math] \ nu [/ math] puede variar de 0 a 3, donde 0 representa tradicionalmente el tiempo mientras que 1 a 3 representa tradicionalmente varias dimensiones espaciales. Las ecuaciones son simétricas; es decir, [matemáticas] \ mu \ nu = \ nu \ mu [/ matemáticas]. Entonces las diez ecuaciones son:

1. [matemáticas] G_ {00} + \ Lambda g_ {00} = \ kappa T_ {00} [/ matemáticas]
2. [matemáticas] G_ {01} + \ Lambda g_ {01} = \ kappa T_ {01} [/ matemáticas]
3. [matemáticas] G_ {02} + \ Lambda g_ {02} = \ kappa T_ {02} [/ matemáticas]
4. [matemáticas] G_ {03} + \ Lambda g_ {03} = \ kappa T_ {03} [/ matemáticas]
5. [matemáticas] G_ {11} + \ Lambda g_ {11} = \ kappa T_ {11} [/ matemáticas]
6. [matemáticas] G_ {12} + \ Lambda g_ {12} = \ kappa T_ {12} [/ matemáticas]
7. [matemáticas] G_ {13} + \ Lambda g_ {13} = \ kappa T_ {13} [/ matemáticas]
8. [matemáticas] G_ {22} + \ Lambda g_ {22} = \ kappa T_ {22} [/ matemáticas]
9. [matemáticas] G_ {23} + \ Lambda g_ {23} = \ kappa T_ {23} [/ matemáticas]
10. [matemáticas] G_ {33} + \ Lambda g_ {33} = \ kappa T_ {33} [/ matemáticas]

Eso nos deja con la pregunta de qué [matemáticas] G _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas], [matemáticas] g _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas], [matemáticas] T _ {\ mu \ nu} [/ math], [math] \ Lambda [/ math] y [math] \ kappa [/ math] son. En orden inverso:

• [matemáticas] \ kappa [/ matemáticas] es la constante de Einstein: [matemáticas] \ dfrac {8 \ pi G} {c ^ 4} [/ matemáticas]. G es la constante gravitacional de Newton, y c es la velocidad de la luz.
• [matemáticas] \ Lambda [/ matemáticas] es la constante cosmológica. No sé su valor exacto; pero está realmente cerca de cero, y a menos que esté lidiando con escalas verdaderamente cósmicas, generalmente puede ignorar este término.
• [matemáticas] T _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas] es el tensor de energía de estrés. [matemáticas] T_ {00} [/ matemáticas] representa la densidad de energía; [matemáticas] T_ {0i} = T_ {i0} \ text {donde} i = 1 \ text {to} 3 [/ matemáticas] es el impulso; [matemáticas] T_ {ii} \ text {donde} i = 1 \ text {to} 3 [/ matemáticas] es presión; y [matemáticas] T_ {ij} = T_ {ji} \ text {donde} i, j = 1 \ text {to} 3 \ text {y} i \ ne j [/ math] es pura tensión.
• [math] g _ {\ mu \ nu} [/ math] es la métrica del espacio-tiempo, y se convierte en los coeficientes en la ecuación para el tiempo apropiado: [math] ds ^ 2 = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} [/ math] usando la notación Einsein, o [math] ds ^ 2 = \ sum _ {\ mu = 0} ^ 3 \ sum _ {\ nu = 0} ^ 3 g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} [/ math] usando notación de sumatoria. (Tenga en cuenta que [math] dx ^ {\ mu} [/ math] y [math] dx ^ {\ nu} [/ math] son ​​índices de superíndice, no exponentes. En coordenadas rectilíneas, serían [math] dt [ / matemática], [matemática] dx [/ matemática], [matemática] dy [/ matemática] y [matemática] dz [/ matemática]; en coordenadas cilíndricas, serían [matemática] dt [/ matemática], [ matemática] dr [/ matemática], [matemática] dz [/ matemática] y [matemática] d \ theta [/ matemática]. Y así sucesivamente.)
• [math] G _ {\ mu \ nu} [/ math] es una función de [math] g _ {\ mu \ nu} [/ math], y es donde reside toda la complejidad: hay más de sesenta términos individuales en esta función. Necesitarás un mejor matemático que yo para desglosarlo por completo; de hecho, necesitará un mejor matemático que Einstein para hacerlo: Einstein tuvo que buscar la ayuda de matemáticos dedicados para trabajar en esta parte de la ecuación. Consulte el tensor de Einstein – Wikipedia para obtener una definición tan completa de [math] G _ {\ mu \ nu} [/ math] en función de [math] g _ {\ mu \ nu} [/ math] como sea probable Llegar. Pero puedo darle una idea general de lo que representa el término: [matemáticas] G _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas] puede considerarse libremente como la segunda derivada de [matemáticas] g _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas], haciendo que las ecuaciones de campo de Einstein sean más o menos análogas a [matemáticas] \ nabla ^ 2 \ phi = 4 \ pi G \ rho [/ matemáticas].

¿Claro como el barro?