Cómo resolver [math] x \ frac {\ partial u} {\ partial x} + 2y \ frac {\ partial u} {\ partial y} = x ^ 2 [/ math]

Answer 1

Esta es una PDE cuasi lineal típica que puede resolverse eficazmente empleando el método de características.
Después de eso, formamos un sistema característico de la siguiente manera:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {x} = \ frac {\ mathrm {d} y} {2y} = \ frac {\ mathrm {d} u} {x ^ 2}} [/matemáticas]
Dividirlo para tener:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {x} = \ frac {\ mathrm {d} y} {2y} \ quad (1)} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {x} = \ frac {\ mathrm {d} u} {x ^ 2} \ quad (2)} [/ math]
Integrar (1):
[math] \ displaystyle {x ^ 2 = C_1y} [/ math] donde [math] C_1 [/ math] es una constante constante
Reescribir (2):
[matemáticas] \ displaystyle {x \ mathrm {d} x = \ mathrm {d} u} [/ math]
Integre nuevamente para mostrar:
[math] \ displaystyle {u = \ frac {x ^ 2} {2} + C_2} [/ math] donde [math] C_2 [/ math] es constante
Nuevamente, el método de características sugiere que [math] C_2 [/ math] tiene que ser una función de [math] C_1 [/ math]. Luego tenemos los siguientes:
[matemática] C_2 = f (C_1) [/ matemática] donde [matemática] f (.) [/ matemática] es una determinada función diferenciable. Así que eso:
[matemáticas] \ displaystyle {u – \ frac {x ^ 2} {2} = f \ left (\ frac {x ^ 2} {y} \ right)}, \ quad y \ neq 0 [/ math]
o:
[matemáticas] \ displaystyle {u (x, y) = \ frac {x ^ 2} {2} + f \ left (\ frac {x ^ 2} {y} \ right)} [/ math]
Usando la condición límite dada: [matemática] \ displaystyle {u (a, \ frac {1} {a}) = 1 \, \ forall a} [/ math] llegamos a una ecuación que ayuda a derivar la forma explícita de función [matemática] f (.) [/ matemática]:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {a ^ 2} {2} + f \ left (\ frac {a ^ 2} {\ frac {1} {a}} \ right) = 1} [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow f (a ^ 3) = 1 – \ frac {a ^ 2} {2} \, \ forall a [/ math]
Deje que [math] a ^ 3 = t \ Rightarrow a = t ^ {\ frac {1} {3}} [/ math] luego:
[matemáticas] f (t) = 1 – \ displaystyle {\ frac {t ^ {\ frac {2} {3}}} {2}} \, \ forall t [/ math]
Entonces, finalmente, la solución se da como:
[matemáticas] \ displaystyle {u (x, y) = \ frac {x ^ 2} {2} + 1 – \ frac {1} {2} \ left (\ frac {x ^ 2} {y} \ right) ^ {\ frac {2} {3}}} [/ matemáticas]

Answer 2

Quería escribir algo solo porque me lo pidieron.

Sin embargo, me temo que he estado alejado de las PDE durante unos 15 años.

Supongo que romperías tu solución, u (x, y) en una suma de dos partes. Una parte, v (x, y) resuelve una ecuación homogénea con la derecha = 0. Puede usar la separación de variables para eso, [matemáticas] v (x, y) = X (x) Y (y) [/ matemáticas]
Puede seguir los pasos de separación de variables, pero la única forma de diferenciar por x, luego multiplicar por x será comparable a diferenciar por y, luego multiplicar por y, es si X e Y son potencias de x e y respectivamente.
[matemáticas] X (x) = x ^ {\ lambda} [/ matemáticas] y [matemáticas] Y (y) = y ^ {- \ lambda / 2} [/ matemáticas]

Entonces necesitas una solución que resuelva la ecuación no homogénea con [math] x ^ 2 [/ math] a la derecha
[matemáticas] \ frac {x ^ 2} {2} [/ matemáticas] funciona.

Y luego supongo que sustituyes la condición.

Answer 3

El método de características es especialmente adecuado para resolver ecuaciones diferenciales parciales de primer orden.