¿Cuál de las siguientes representa la solución de la ecuación diferencial [matemática] \ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} + 4y = 0 [/ matemática]?

Answer 1

La respuesta de Nikhil Patel cubre las más convenientes. Esta respuesta es simplemente en aras de la integridad, ya que parece ser un depósito de algún tipo para resolver DE.

Resolveré el ODE de segundo orden reduciéndolo a un sistema de dos ODE de primer orden. Esto se puede hacer mediante la sustitución adecuada de la siguiente manera.

[matemáticas] y ” + 4y = 0 [/ matemáticas]

Poner [matemáticas] y_1 = y [/ matemáticas] y [matemáticas] y_2 = y ‘= y’ _ {1} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el sistema de dos EDO de primer orden se convierte en

[matemáticas] y ‘_ {1} = y_ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘_ {2} = -4y_ {1} [/ matemáticas]

que se puede escribir en forma de matriz como

[matemáticas] \ begin {bmatrix} y’_1 \\ y’_2 \ end {bmatrix} = [/ math] [math] \ left [\ begin {array} {lr} 0 & 1 \\ -4 & 0 \ end {array} \ right] [/ math] [math] \ begin {bmatrix} y_1 \\ y_2 \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ textbf {Y ‘} = A \ textbf {Y} [/ matemáticas]

donde [math] \ textbf {Y} = [/ math] [math] \ begin {bmatrix} y_1 \\ y_2 \ end {bmatrix} [/ math] y

[matemática] A = [/ matemática] [matemática] \ left [\ begin {array} {lr} 0 & 1 \\ -4 & 0 \ end {array} \ right] [/ math].

Sustituyendo [math] \ textbf {Y} = \ textbf {X} e ^ {\ lambda t} [/ math] que al diferenciar con respecto a ‘t’ se convierte en [math] \ textbf {Y ‘} = \ lambda \ textbf {X} e ^ {\ lambda t} = A \; [/ math] [math] \ textbf {X} e ^ {\ lambda t}, [/ math] al cancelar el término exponencial de ambos lados,

[matemáticas] A \ textbf {X} = \ lambda \ textbf {X} [/ matemáticas].

Este es el problema del valor propio que se resuelve para los valores propios y los vectores propios correspondientes.

[matemáticas] | A- \ lambda I | = 0 [/ matemáticas] da [matemáticas] {\ lambda} ^ 2 + 4 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lambda_1 = 2i; \; \; \; \ lambda_2 = -2i [/ math] son ​​los valores propios.

Los vectores propios correspondientes son [math] \ textbf {X} _ {1} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 2i \ end {bmatrix} [/ math] y [math] \ textbf {X} _ {2} = \ begin {bmatrix} 1 \\ -2i \ end {bmatrix} [/ math]

La solución general se da como [math] \ textbf {Y} = c_ {1} \ textbf {X} _ {1} e ^ {2it} + [/ math] [math] c_ {2} \ textbf {X} _ {2} e ^ {- 2it} [/ math] donde [math] c_1 [/ math] y [math] c_2 [/ math] son ​​constantes arbitrarias. [matemáticas] [/ matemáticas]

En términos de sus componentes,

[matemáticas] y_1 = c_1 e ^ {2it} + c_2 e ^ {- 2it} \; \; \; \; [/matemáticas]

[matemáticas] y_2 = 2ic_1e ^ {2it} -2ic_2 e ^ {- 2it} (= y ‘_ {1}) [/ matemáticas]

Como sustituimos [matemáticas] \; \; \; \; y = y_1 [/ matemáticas]

La solución es por lo tanto

[matemáticas] \ displaystyle y = [/ matemáticas] [matemáticas] c_1e ^ {2it} + c_2e ^ {- 2it} [/ matemáticas]

Lo anterior se puede reducir a la combinación seno-coseno familiar usando la fórmula de Euler.

Las trayectorias para el sistema son elipses, con el punto central del sistema en el origen [matemática] (y_1 = 0, y_2 = 0) [/ matemática].

[Imagen: diagrama de fase generado en Matlab]

También puede usar Matlab para generar soluciones.

función dy = secondOrderLinear (t, y)
Función de espacio de estado%
dy = ceros (2,1);
dy (1) = y (2);
dy (2) = – 4 * y (1);
fin
Script% Solver
cierra todo; limpiar todo; clc;
[t, y] = ode45 (@secondOrderLinear, [0 100], [0 1]);
% de velocidad inicial que se supone que es 1 arbitrariamente
plot (t, y (:, 1)); cuadrícula activa;

[Imagen: Gráfico del tiempo de desplazamiento]

Answer 2

Voy a responder esta pregunta por usando 4 métodos diferentes \ enfoques.

1: modelo físico
2: Método de la serie de potencia
3: Transformada de Laplace

1: modelo físico

Como puede ver, esta ecuación es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden que utilizan la mayoría de los ingenieros. Aquí está el modelo físico de la misma.

¡¡¡Si!!! Un simple péndulo!

Como sabemos (por experiencia) el movimiento es armónico y la respuesta debe ser en términos de funciones coseno o seno.

Suponga que la solución es

T = sen x
T ‘= cos x
T ” = -sin x

Inserte estos valores en su ecuación y verá que la solución satisface la ecuación. Como la función es linealmente independiente, podemos decir con seguridad que la solución será una suma de funciones seno y coseno,

T = A1 cosx + A2 sen x; A1 y A2 son constantes arbitrarias

2: método de la serie Power

Un hombre sabio podría no usar este método, porque es largo y tedioso. En lugar de escribir las ecuaciones para este método, voy a fotografiar cómo lo resolví. (Escribir cosas matemáticas en la computadora es demasiado trabajo)

Tadaa !! Genial ¿eh?

3: Método de transformación de Laplace

Una vez más, voy a publicar una imagen en lugar de escribir todo

Hay uno o dos métodos más.

• Método de Bernoulli
• Interpretación gráfica de la solución.
• Uso de MATLAB para resolver

Etcetra ¡Podría hacerlos pronto! 🙂

Para más puede referir buenos libros básicos como Erwin Kreyszig. 🙂

¡Aquí también están dando algunos métodos realmente geniales!

Answer 3

[matemáticas] \ frac {d ^ 2t} {dx ^ 2} + k ^ 2 t = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ frac {d ^ 2t} {dx ^ 2} = – k ^ 2 t [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] t [/ math] es una función que, cuando se diferencia dos veces, produce el negativo de sí misma.
En general, esta es la función sinusoidal: [matemáticas] t = sin (kx + c) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {dt} {dx} = k cos (kx + c) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d ^ 2t} {dx ^ 2} = – k \ veces k sin (kx + c) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d ^ 2t} {dx ^ 2} = – k ^ 2 sin (kx + c) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d ^ 2t} {dx ^ 2} = – k ^ 2 t [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] t = sin (kx + c) [/ math] es una solución para esta ecuación diferencial.
Se puede ampliar como:
[matemáticas] t = sin (kx) cos (c) + cos (kx) sin (c) [/ matemáticas]
o
[matemáticas] t = A sin (kx) + B cos (kx) [/ matemáticas]
dónde
[matemática] A = cos (c) [/ matemática] y [matemática] B = sin (c) [/ matemática] son ​​constantes.

Answer 4

Primero podemos reescribir la ecuación para que esté en términos de y. Luego creamos una ecuación auxiliar tal que el orden de derivación para y es el valor de la potencia para la variable correspondiente en la ecuación auxiliar, en este caso para r. Los coeficientes antes de y son los mismos coeficientes para r.

Resolvemos las raíces en nuestra ecuación auxiliar / característica y encontramos que la ecuación tiene raíces imaginarias.

Por lo tanto, nuestra solución tiene la forma que se muestra arriba. Enchufamos valores para la solución final.

Answer 5

La pregunta inicialmente no se ha escrito o aclarado bien. Sin embargo, parece que la ecuación diferencial en la pregunta viene dada por:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2 y} {\ text {dx} ^ 2} + 4 y = 0 [/ matemáticas]

o equivalente :

[matemáticas] y ” (x) + 4 y (x) = 0 [/ matemáticas]

La solución a la ecuación diferencial anterior está dada por:

[matemáticas] y (x) \ a c_ 1 \ cos (2 x) + c_ 2 \ sin (2 x) [/ matemáticas]

Si la pregunta involucra múltiples respuestas, la respuesta correcta es la igual a la solución anterior de la ecuación diferencial.

Answer 6

[matemáticas] y “+ 4y = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] t ^ 2 + 4 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] t = \ sqrt {-4} = 2i [/ matemáticas] o [matemáticas] -2i [/ matemáticas]

[matemáticas] y_1 = \ cos {2x}, y_2 = \ sin {2x} [/ matemáticas]

Solución general:

[matemáticas] y = A \ cos {2x} + B \ sin {2x}, A, B [/ matemáticas] reales

Answer 7

Como es una ecuación homogénea de primer grado de segundo orden … Solo consiste en una solución general …

La ecuación auxiliar de esta ecuación es m ^ 2 + k ^ 2 = 0 donde m es un generador derivado de segundo orden.

resolviendo la ecuación auxiliar obtenemos m = ik, -ik {donde i = debajo de la raíz (-1)}

ahora la solución a esta ecuación es t = C cos (kx + A) donde C y A son constantes arbitrarias …

Answer 8

[math] \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} [/ math] representa la segunda derivada de [math] y [/ math]. Así que tome cada uno de los “siguientes” [matemática] y [/ matemática], diferencie dos veces, agregue cuatro veces la [matemática] y [/ matemática] original y verifique si la suma es cero. Si es así, ¡acabas de encontrar la respuesta!