Cómo construir un lagrangiano a partir de una ecuación de campo dada (además de resolver la ecuación diferencial EL)

Answer 1

Realmente no puedo darte una respuesta clara aquí. El problema con la mayoría de las ecuaciones diferenciales es que es bastante fácil verificar la solución, pero a veces es casi imposible encontrar esta solución.

Por lo tanto, para resolver un PDE, generalmente es aceptable simplemente dar la solución y demostrar que funciona. Luego use algunos argumentos de Teoría diferencial o Física para demostrar que obtuvo la solución completa.

En la mayoría de los casos, se proporciona el lagrangiano, y debe encontrar las ecuaciones de campo a través del método EL. Sin embargo, si necesita hacerlo al revés, la mejor manera es hacer una suposición educada:
Si tiene una derivada de segundo orden, esto vendrá de una derivada de primer orden al cuadrado.
Cualquier campo a algún poder vendrá de un campo a ese poder más uno.
Entonces verá lo que obtiene si sigue las dos sugerencias anteriores, luego intente si funciona. Y luego cuide cualquier signo negativo.

Si su campo es complejo y su MOE solo tiene un campo real. puede simplemente abofetear el complejo campo hasta el final de su MOE para obtener el Lagrangiano.

Aparte de eso, es como resolver cualquier PDE, una cuestión de experiencia, probar cosas y ver qué funciona. (Si su lagrangiano tiene que obedecer ciertas simetrías, por ejemplo, la invariancia de Lorentz, puede excluir una gran cantidad de términos posibles y, por lo tanto, podría ser más rápido escribir un lagrangiano general y ver qué MOE obtiene, y luego fijar los coeficientes)

Answer 2

Estoy un poco confundido por su pregunta, donde dice “además de resolver la ecuación diferencial EL”. Ignoraré esa parte. Por lo tanto, desea saber cómo pasar de las ecuaciones de movimiento al lagrangiano, mientras que generalmente hacemos las cosas al revés.

No creo que haya un procedimiento sistemático para hacerlo, aunque me encantaría que me demuestren lo contrario. Una dificultad es que a cualquier densidad lagrangiana físicamente correcta podemos agregar una divergencia y, al hacerlo, terminar con otra densidad lagrangiana que genera las mismas ecuaciones de movimiento. Por supuesto, esto no significa que sea imposible encontrar un procedimiento sistemático; pero incluso si pudieras encontrar uno, podría no darte la densidad lagrangiana que deseas. [1]

Dicho esto, generalmente puede adivinar la densidad lagrangiana correcta y luego simplemente verificar si da las ecuaciones de campo correctas. Si nos fijamos en la forma de las ecuaciones de Euler-Lagrange:
[math] \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ psi} – \ partial_ \ mu \ frac {\ partial L} {\ partial (\ partial_ \ mu \ psi)} [/ math]
puede ver qué tipo general de transformación inducen al pasar de la densidad lagrangiana a las ecuaciones de campo. Cuando tenga un término de grado [matemático] n [/ matemático] en [matemático] \ psi [/ matemático] en la densidad lagrangiana obtendrá uno de grado [matemático] n-1 [/ matemático] en las ecuaciones de movimiento, así que si ve un término de grado [matemático] n [/ matemático] en el MOE, entonces ponga un término de grado [matemático] n + 1 [/ matemático] en la densidad lagrangiana. De manera similar, podemos trabajar hacia atrás con el otro término.

Por ejemplo, aquí está la ecuación de Dirac: [4]
[matemáticas] (i \ hbar \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu – m) \ psi = 0 [/ matemáticas]
Vemos un término [math] -m \ psi [/ math] por lo que podemos adivinar que probablemente proviene de un término en lagrangiana proporcional a [math] -m \ psi ^ 2 [/ math]. En cuanto al término [math] i \ hbar \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu \ psi [/ math], si proviene de [math] \ partial \ mathcal {L} / \ partial \ psi [/ math] parte, entonces el término correspondiente en el lagrangiano debe haber sido algo como [matemática] i \ hbar \ psi \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu \ psi [/ matemática]. Si proviene del otro término en las ecuaciones E – L, entonces podemos trabajar hacia atrás deshaciendo una derivada, dando [matemática] i \ hbar \ gamma ^ \ mu \ psi [/ matemática], y luego insertando un factor de [matemática ] \ partial_ \ mu \ psi [/ math]. De cualquier manera, la conclusión es la misma: probablemente hay un término que contiene el campo multiplicado por su derivada (y las matrices gamma).

Ahora, queremos que nuestra densidad lagrangiana sea un escalar manifiesto de Lorentz. El único cuadrático escalar en el campo es [matemáticas] \ overline \ psi \ psi [/ matemáticas]. [2] También queremos un término que sea lineal en el campo y lineal en la derivada. La única forma de construir dicho término y hacer que sea invariante de Lorentz es:
[matemáticas] \ overline \ psi \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu \ psi [/ math]
o su conjugado. [3] Y teníamos un factor de [matemáticas] i \ hbar [/ matemáticas], no lo olviden.

Entonces podemos escribir la densidad lagrangiana
[math] \ mathcal {L} = i \ hbar \ overline \ psi \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu \ psi – m \ overline \ psi \ psi [/ math]
y esto es realmente correcto Pero siempre puedes determinar los factores constantes fácilmente, de todos modos.

Entonces el procedimiento general fue:

1. Para cada término en la MOE, trabaje hacia atrás usando las ecuaciones E – L para determinar el grado del término correspondiente en la densidad lagrangiana
2. Use la invariancia de Lorentz (o la simetría que aplique) para reducir el posible rango de términos que pueden aparecer en la densidad lagrangiana
3. Calcule los factores constantes (un pedazo de pastel, ya que puede evaluar el operador de Euler-Lagrange en cada término)

[1] Ejemplo: la densidad lagrangiana estándar para el campo electromagnético clásico libre es [matemática] \ matemática {L} = – \ frac {1} {4 \ mu_0} F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu }[/matemáticas]. Pero puede agregar cualquier múltiplo de [matemáticas] G ^ {\ mu \ nu} G _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas] y obtener otra densidad lagrangiana válida para el campo, porque esta es una divergencia de cuatro.
[2] También hay un pseudoescalar, [matemáticas] \ overline \ psi \ gamma ^ 5 \ psi [/ matemáticas].
[3] Nuevamente, puede insertar un [math] \ gamma ^ 5 [/ math], lo que lo convertiría en un pseudoescalar.
[4] Configuré [matemáticas] c = 1 [/ matemáticas] por conveniencia.