¿Cuál es el significado real de la solución de una ecuación diferencial?

Answer 1

¡Déjame ver si puedo ser aún más ilustrativo que Johnny Zhong aquí, porque creo que las imágenes y ejemplos muy específicos son realmente útiles para comprender!

Tomemos un ejemplo muy específico y simple de un tanque cilíndrico (como un termo) lleno de agua con una espita en la parte inferior:

Para hacer que esto sea más análogo a un problema del mundo real, se podría considerar como un gran contenedor de almacenamiento que contiene aceite que se escapa a través de un agujero, ¡y queremos saber cuánto aceite queda en el tanque después de un período de tiempo! (puede calcular cuánto se ha derramado simplemente restando el volumen restante del volumen original).

Lo que queremos saber, eventualmente, es cuál es el volumen del líquido en el tanque después de un período de tiempo determinado. Entonces, lo que queremos saber es una función que nos dará el volumen de agua (v), el tiempo transcurrido (t) o:

v = f (t)

La respuesta a eso no es obvia, porque la “tasa” de fuga de líquido depende de la presión por encima, que depende de la profundidad del líquido, que está cambiando continuamente. Sin embargo, * podemos * crear una ecuación diferencial ordinaria basada únicamente en la ley de conservación de la masa. Básicamente podemos configurar una ecuación para el * cambio * en el volumen mirando lo que entra y sale:

tasa de acumulación = entradas – salidas

La tasa de acumulación en este caso es el cambio de volumen a lo largo del tiempo o:

dv / dt

En este caso no tenemos líquido agregado, por lo que las entradas = 0

Las salidas son el volumen de líquido que sale a través del orificio. No es demasiado difícil deducir esa ecuación, pero para evitar las tangentes, simplemente afirmemos que el volumen de líquido que sale a través de la fuga es:

[matemáticas] a \ sqrt {2gh} [/ matemáticas]

donde g = aceleración debida a la gravedad (aproximadamente 9.81 en unidades SI), h = la altura del líquido en el tanque y a = el área del orificio de fuga.

Por lo tanto, nuestra ecuación diferencial (en este caso, una ecuación diferencial ordinaria u ODE) es:

tasa de acumulación = entradas – salidas

dv / dt = 0 – [matemáticas] a \ sqrt {2gh} [/ matemáticas]

o solo

dv / dt = – [matemáticas] a \ sqrt {2gh} [/ matemáticas]

Una cosa que podemos ver es que v (el volumen del líquido en el tanque) yh (la altura del líquido en el tanque) están relacionadas. De hecho, la geometría simple nos dice que:

v = h * A

donde A = el área de la sección transversal del tanque, ya que es un cilindro. Entonces podemos reescribir nuestra ecuación como:

d (h * A) / dt = – [matemáticas] a \ sqrt {2gh} [/ matemáticas]

y como A no cambia con el tiempo:

A * dh / dt = – [matemáticas] a \ sqrt {2gh} [/ matemáticas]

y dividiendo a través de A:

dh / dt = [matemáticas] – \ frac {a} {A} \ sqrt {2gh} [/ matemáticas]

¡Ahora sabemos cómo cambia la altura del líquido en el tanque con el tiempo! Pero esto es solo una ecuación diferencial, observe que no hay una “t” allí, no podemos calcular directamente una altura en un momento dado (🙁).

Necesitamos encontrar una función que haga eso por nosotros y satisfaga nuestra ecuación diferencial. ¡Ojalá tuviéramos una forma de resolverlo dada nuestra ecuación diferencial!

¡Pero espera! Esta ODE particular es separable, podemos obtener todas nuestras h de un lado y todas nuestras t del otro. Lo que significa que podemos integrar ambos lados. ¡Y la integración nos dará una función que satisfaga la derivada, que es exactamente lo que queremos! Así que hagamos algunas matemáticas aquí:

Si manipulamos nuestro ODE algebraicamente, podemos configurarlo como:

[matemática] \ frac {dh} {\ sqrt {h}} = – \ frac {a} {A} \ sqrt {2g} \ cdot dt [/ math]

Estos son derivados bastante fáciles de integrar, por lo que terminas con (¡no olvides la constante de integración!):

[matemáticas] 2 \ cdot \ sqrt {h} = – \ frac {a} {A} \ sqrt {2g} \ cdot t + c [/ math]

Dado que h es el valor de interés, podemos obtenerlo por sí solo dividiendo por 2 y cuadrando ambos lados:

[matemáticas] h = – \ left (\ frac {a} {2A} \ sqrt {2g} \ cdot t + c \ right) ^ {2} [/ math]

¡Y eso es! Ahora tenemos una ecuación que nos dará la altura del líquido en el tanque en cualquier momento, y lo hicimos utilizando la conservación de la masa y una ecuación diferencial. La constante “c” que se atascó allí debido a la constante de integración se resuelve resolviendo la ecuación en un tiempo y altura conocidos, generalmente al principio. En este caso, c será igual a la raíz cuadrada de la altura inicial del líquido.

Si observamos cómo se ve esa función con el tiempo, se ve (para A = 500, a = 1 y la altura inicial de 9, que son solo algunos ejemplos razonables que elegí):

Entonces puede ver que el tanque drena más rápido cuanto más alto es el líquido, lo que tiene sentido dada nuestra ecuación diferencial. ¡Entonces nuestra función parece satisfacer los requisitos! ¡Y tenemos una ecuación del mundo real para estimar la altura del líquido en un tanque con fugas!

Answer 2

Siento que las respuestas ya publicadas aquí son claras y agradables, pero no atraen demasiado a la intuición. Trataré de traer intuición y menos formalismo.

Dando un primer paso similar al de David Joyce, consideramos ecuaciones algebraicas. Desde un punto de vista histórico, se usan ecuaciones cuadráticas porque los agricultores están interesados ​​en (maximizar) el área de sus tierras. Las ecuaciones lineales surgen de manera bastante natural cuando estamos tratando de encontrar los tablones numéricos de madera para construir un estante (altura fija) o calculando qué tan lejos viajó alguien en un cierto período de tiempo (suponiendo una velocidad constante).

En los casos anteriores, estamos resolviendo una sola cantidad, un número. En los casos de los granjeros, estamos resolviendo una parte de la granja. Para el estante, estamos buscando un número entero de tablones de madera y la distancia que buscamos en algunos metros. Estamos tratando con la cantidad misma y no con su cambio; Por lo tanto, la pregunta que estamos tratando es efectivamente:
“¿Cuál es el peso / longitud / distancia / dinero / número de dulces que necesito para que esta ecuación se equilibre?”

En el ámbito de las ecuaciones diferenciales, por definición, nos ocupamos de cómo cambia la cantidad (donde la cantidad misma puede o no escribirse explícitamente) y de esto, ¡apuntamos a deducir cuál es la cantidad! En otras palabras, estamos tratando de responder la pregunta:
“Si sé cómo cambia mi peso / longitud / distancia / dinero / número de dulces, ¿cuál es el peso / longitud / distancia / dinero / número de dulces en sí mismo?”

¡Y esta es la magia de las matemáticas, al saber cómo cambia (y su punto de partida) podemos deducir cuál debe ser o satisfacer la cantidad misma! Por lo tanto, el “significado real” de la solución de una ecuación diferencial es el anterior: la cantidad misma (o al menos la forma de la misma).

Ejemplo 1
Posiblemente el ejemplo más fácil de entender podría ser responder a la pregunta: “Si sé qué tan rápido se mueve un objeto, ¿podría averiguar dónde estará después de un tiempo?”
“Rápido” aquí es el cambio, el cambio en la distancia (por su cambio) en el tiempo. Podemos imaginar que supongamos que te dijera que iba a una velocidad de 5 m / s, luego de 10 segundos, habría cubierto 5 × 10 = 50 m. Por lo tanto, pasamos de conocer solo un cambio (a la distancia) a la cantidad de distancia misma. Por supuesto, 50m no es la respuesta completa y depende de cuán lejos estuve ya, por ejemplo, supongamos que comencé en la marca de 20m, entonces mi distancia total es 20 + 50 = 70m y esta es la razón por la cual hay “soluciones infinitas” para esta pregunta (como podría haber comenzado en cualquier marca). Los 20m se llaman condición inicial. Al arreglar las condiciones iniciales, tenemos una solución única (en este ejemplo de todos modos).

Ejemplo 2
Temperatura en toda la habitación: supongamos que estamos en una habitación donde la temperatura es de aproximadamente 25 ° C en toda la habitación. Alguien decide encender una vela en algún lugar de la habitación. Esta vela está caliente y su calor se extendería. En física, tenemos la ecuación de calor, que es una ecuación diferencial que se ha deducido lógicamente que gobierna cómo se propagaría este calor por la habitación. En otras palabras, tenemos cómo cambia a través del tiempo y el espacio.

La pregunta que estamos interesados ​​en responder es: ‘¿Cuál es la temperatura en un lugar en particular en esta habitación y en un tiempo determinado dado que sabemos cómo cambia la temperatura?’

Entonces, en este ejemplo, al resolver la ecuación de calor, una ecuación de cambio de temperatura, la solución sería una función del tiempo y el espacio que representa la temperatura en un tiempo y espacio en particular.

Nuevamente, podemos tener soluciones infinitas debido a nuestras condiciones iniciales. Esto se debe a que la respuesta “obviamente” depende de qué tan caliente estaba la vela y si se apagó o no y si no, cómo libera calor durante su vida útil y dónde estuvo en la habitación (aunque puede tratar la vela operando desde el origen)

TLDR;
Resolver ecuaciones diferenciales es responder la pregunta:
“Dado que sé cómo cambia la cantidad, cuál es la cantidad misma o, si no sé, ¿qué forma debe satisfacer esta cantidad?”
Por forma, quiero decir, ¿cómo se ve la respuesta / cantidad, por ejemplo, lineal, exponencial, seno / coseno

Por lo tanto, el “significado real” de la solución de una ecuación diferencial es una descripción de la cantidad o la cantidad misma.

Answer 3

Tome el caso más simple de una ecuación algebraica.

¿Cuál es el significado de una solución de una ecuación algebraica, como esta?

[matemáticas] x ^ 2 + 9 = 0 [/ matemáticas]

Una solución es un número que satisface la ecuación. Para esta, hay dos soluciones, y son [matemáticas] x = 3i [/ matemáticas] o [matemáticas] x = -3i. [/ Matemáticas]

Así que ahora volvamos a la pregunta original.

¿Cuál es el significado de una solución de una ecuación diferencial, como esta?

[matemáticas] f ” + 9f = 0 [/ matemáticas]

Una solución es una función que satisface la ecuación. Para este, hay infinitas, y todas son combinaciones lineales [matemáticas] f (x) = A \ sen 3x + B \ cos 3x [/ matemáticas] de las dos funciones [matemáticas] \ sen 3x [/ matemáticas] y [math] \ cos 3x, [/ math] como puedes verificar por ti mismo. Aquí, [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] pueden ser cualquier número.

Answer 4

Vea excelentes respuestas, como siempre, de @David Joyce y otros. Aquí hay algunos comentarios tangenciales de aficionados que pueden ayudar al OP.

Una posible fuente de confusión es que algunos símbolos (como ‘=’ y los dígitos 0-9) tienen significados diferentes en contextos diferentes. Lo más familiar sería su significado en una ecuación algebraica (como el primer ejemplo de David): entendemos que el LHS representa un número y el RHS representa un número y que la ecuación (signo ‘=’) dice que ambas representaciones son del mismo número (‘igualdad de números’).

Sin embargo, sus significados en una ecuación diferencial son diferentes:

‘=’ en a de ahora significa ‘igualdad de funciones’ (en oposición a ‘igualdad de números’). Para estar seguros, la igualdad de funciones se elimina (depende) del concepto más simple de igualdad de números, pero es un concepto diferente, aplicable solo en un tipo de ecuación donde las funciones en su totalidad son las unidades bajo consideración.

• Uno podría preguntarse si hubiera sido mejor usar un símbolo diferente para ‘igualdad de función’ (como el signo igual de triple línea), pero este uso generalizado del símbolo / concepto de igualdad está muy extendido en las matemáticas, independientemente de los “animales “en estudio (funciones, matrices, etc.). Los matemáticos aceptan que, al comenzar a estudiar nuevos animales, una de las primeras tareas es aclarar las definiciones de los animales y qué constituye la igualdad entre ellos y si los conceptos se comportan bien (por ejemplo, transitividad); Una vez que se ha internalizado este servicio de limpieza, se le autoriza a usar ‘=’ como abreviatura en este nuevo espacio.

‘0123456789’ los dígitos familiares tienen significados ambiguos en un contexto discernible desde el contexto. El símbolo ‘9’ en la segunda ecuación diferencial de David (que se repite a continuación) representa un número que desempeña el papel de multiplicador escalar de la función f. Sin embargo, el símbolo ‘0’ en el RHS de esa misma ecuación significa la función cero (no el número cero).

f ” + 9f = 0

El aspecto “diferencial” de los de no es ambiguo porque la diferenciación solo puede aplicarse a las funciones. La diferenciación es simplemente un operador en una función que produce otra función. La ecuación anterior contiene un ejemplo de un operador simple (multiplicación escalar de una función f por el número 9 para producir una nueva función 9f) y un operador más complejo: dos operaciones sucesivas del operador diferencial que transforma la función f en la función f ‘y de allí a la función f’ ‘. Estas dos expresiones se combinan a través del operador de suma de funciones ‘+’.

Volviendo a la pregunta original, llevar a cabo explícitamente este tipo de ‘análisis dimensional’ (a la física) puede fortalecer la comprensión del significado de un de y sus soluciones. Brevemente, los elementos que se consideran son funciones, la ecuación se expresa en el espacio de funciones y la solución es un conjunto de funciones.

Answer 5

De la misma manera que los números reales y complejos son soluciones para ecuaciones algebraicas, las funciones son soluciones para ecuaciones diferenciales. La forma en que los veo no son terriblemente diferentes; Así como la exponenciación es una herramienta para manipular números, la diferenciación es una herramienta para manipular funciones. Resolver un DE es muy parecido a resolver una ecuación cuadrática, pero con un operador adicional.

Answer 6

La solución tiene el mismo significado para cualquier tipo de ecuación en matemáticas (si no me equivoco) y cuál es

Por lo tanto, una función para la cual la ecuación diferencial es verdadera es una solución a esa ecuación diferencial.

Answer 7

Quisiera aclaraciones sobre lo que esta pregunta realmente pregunta:
a) ¿Qué significa resolver una ecuación diferencial?
b) ¿Cuál es el punto de resolver una ecuación diferencial?
c) ¿Qué tienes una vez que resuelves una ecuación diferencial?
La formulación de la pregunta me hace preguntarme si debería haber comillas alrededor de la palabra “solución”.