¿Cuál es la intuición detrás del método de solución para una ecuación diferencial de Bernoulli?

Answer 1

No estoy realmente seguro de cómo de repente se puede llegar a tal caso (es decir, cómo se puede pensar en tal ecuación), pero si tengo la ecuación, puedo desarrollar un proceso de pensamiento para resolver.
Estoy tratando de darle un proceso de pensamiento, que por supuesto también se verá como la derivación, sin querer:
[matemáticas] y ‘+ P (x) y = Q (x) y ^ {n} [/ matemáticas]
Lo primero que intentaría era dividir entre [matemáticas] y [/ matemáticas], ya que hará que dos de tres términos sean completamente explícitos, dando:
[matemáticas] y ^ {- n} y ‘+ y ^ {1-n} P (x) = Q (x) [/ matemáticas]
En el LHS, los dos términos están muy estrechamente relacionados a través de la diferenciación, excepto la [matemática] P (x) [/ matemática].
Como [math] y ^ {- n} y ‘[/ math] es derivado de [math] y ^ {1-n} [/ math], lo vería como [math] [X] d (y ^ {1-n}) + y ^ {1-n} d [X] [/ math], donde [math] [X] [/ math] es una función desconocida.
Como hay una función adicional como factor, lo más simple para hacer cumplir esta forma será introducir una función adicional [matemática] f (x) [/ matemática] como otro factor (así que básicamente [matemática] P (x) f (x ) [/ math] básicamente mantendrá una función de [math] x [/ math] en su totalidad), que debería cumplir estas condiciones:
(i) [matemáticas] [X] = f (x) [/ matemáticas]
(ii) [matemáticas] d [X] = f (x) P (x) [/ matemáticas]

Así de (i), [matemáticas] d [X] = f ‘(x) [/ matemáticas]
Lo cual, cuando se combina con (ii) da:
[matemáticas] f ‘(x) = f (x) P (x) [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow \ frac {df} {dx} = f \ cdot P [/ math]
[math] \ Rightarrow \ frac {df} {f} = P dx [/ math]
Integrando ambos lados:
[matemáticas] \ ln (f) = \ int Pdx [/ matemáticas]
O,
[matemáticas] f (x) = e ^ {\ int Pdx} [/ matemáticas]
Es por eso que multiplica por una función [matemática] f (x) = e ^ {\ int Pdx} [/ matemática], que también mantiene el RHS aún libre de y.

Esto es lo que estabas buscando?