¿Por qué es que para las matrices ortogonales Q, Q (Q ^ T) = (Q ^ T) Q, donde T es el operador de transposición?

Suponga que [math] Q = \ left [\ begin {array} {cccc} q_1 & q_2 & \ ldots & q_n \ end {array} \ right] [/ math], donde [math] q_i [/ ​​math] son ​​columnas vectores Por definición, una matriz ortogonal satisface lo siguiente para cualquier par de sus columnas:
[matemáticas] q_i ^ \ text {T} q_j = \ delta _ {i, j} [/ matemáticas], es decir, el producto interno es 0 si las dos columnas son distintas y 1 en caso contrario.

Si observamos el elemento [math] \ left \ {i, j \ right \} [/ math] de [math] Q ^ \ text {T} Q [/ math], descubrimos que en realidad es [math ] q_i ^ \ text {T} q_j [/ math]. Esto significa que [math] Q ^ \ text {T} Q [/ math] tiene unos en su diagonal y ceros en otra parte, por lo que es la matriz de identidad.

Ahora, ¿qué es [matemáticas] QQ ^ \ text {T} [/ matemáticas]?
Suponga que [matemática] P = QQ ^ \ text {T} [/ matemática].
Entonces [matemáticas] PQ = Q (Q ^ \ text {T} Q) = Q \ implica (PI) Q = 0 [/ matemáticas]. Por el hecho de que [matemática] Q ^ \ text {T} Q = I [/ matemática], [matemática] Q [/ matemática] debe ser de rango completo y, por lo tanto, invertible, entonces [matemática] P = I [/ matemática] .

Esto significa que [matemática] QQ ^ \ text {T} = Q ^ \ text {T} Q = I [/ math].

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Una matriz ortogonal es aquella en la que [matemáticas] Q ^ {- 1} = Q ^ T [/ matemáticas], por lo que su declaración se deduce de mi declaración.

La prueba sobre inversas izquierdas e inversas derechas no es trivial, sino bastante simple, y será una introducción decente al álgebra lineal.

Deepti Kannapan

Porque una matriz [matemática] Q [/ matemática] es ortogonal si y solo si [matemática] Q ^ {- 1} = Q ^ T [/ matemática]. Como cada matriz invertida (finita) [matemática] A [/ matemática] satisface la relación [matemática] AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I [/ matemática], las matrices ortogonales satisfacen [matemática] QQ ^ T = Q ^ TQ (= I) [/ matemáticas].

Alexander Farrugia

Las matrices ortogonales son matrices con vectores propios ortogonales. Solo las matrices simétricas tienen vectores propios orhogonales. Una matriz simétrica es su propia transposición.

Deepti Kannapan

QT es la identidad.

Alexander Farrugia

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