Paso 1: reescribe la ecuación como:
[matemáticas] y ” + \ frac {x ^ 2 + 3x} {x ^ 2 + 2x + 5} y ‘- \ frac x {x ^ 2 + 2x + 5} y = 0 [/ matemáticas]
Paso 2: Recordemos el teorema de Fuchs que nos dice que el radio de convergencia de la solución en serie para esta ecuación diferencial será al menos tan grande como el radio de convergencia para la expansión en serie de los coeficientes:
- [matemáticas] \ frac {x ^ 2 + 3x} {x ^ 2 + 2x + 5} [/ matemáticas]
- [matemáticas] – \ frac x {x ^ 2 + 2x + 5} [/ matemáticas]
Entonces, todo lo que tenemos que hacer es encontrar los radios de convergencia de las representaciones en serie de estos dos coeficientes y listo.
Para cada coeficiente, notamos que las raíces complejas del denominador son [matemática] x = -1 \ pm 2i [/ matemática] que tienen un módulo o (valor absoluto) igual a [matemática] \ sqrt 5 [/ matemática]. Como la relación de polinomios es analítica, excepto cuando el denominador se desvanece, se deduce que el radio de convergencia de la expansión de la serie (aproximadamente [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]) para cada uno es [matemáticas] \ sqrt 5 [/ matemáticas] .
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