¿Por qué podemos tratar [math] \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} [/ math], que es el operador diferencial en y, como [math] dy \ div dx [/ math] ?

Answer 1

No intento sonar condescendiente pero … ¿puedo sugerir hacer una búsqueda en Google antes de preguntar?
Pero ahora que lo ha preguntado, le ahorraré algo de tiempo pegando una respuesta de http://math.stackexchange.com/a/…:

Históricamente, cuando Leibniz concibió la notación, se suponía que [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] era un cociente: era el cociente del “cambio infinitesimal en [math] y [/ math] producido por el cambio en [matemáticas] x [/ matemáticas] “dividido por el” cambio infinitesimal en [matemáticas] x [/ matemáticas] “.
Sin embargo, la formulación de cálculo con infinitesimales en la configuración habitual de los números reales conduce a muchos problemas. Por un lado, ¡los infinitesimales no pueden existir en la configuración habitual de números reales! Debido a que los números reales satisfacen una propiedad importante, llamada Propiedad Arquímedeana: dado cualquier número real positivo [matemática] \ epsilon \ gt 0 [/ matemática], no importa cuán pequeño, y dado cualquier número real positivo [matemática] M \ gt 0 [/ math], no importa cuán grande, existe un número natural [math] n [/ math] tal que [math] n \ epsilon \ gt M [/ math]. Pero se supone que un “infinitesimal” [matemático] \ xi [/ matemático] es tan pequeño que no importa cuántas veces lo agregue a sí mismo, nunca llega a [matemático] 1 [/ matemático], lo que contradice la Propiedad Archimedean. Otros problemas: Leibniz definió la tangente a la gráfica de [matemática] y = f (x) [/ matemática] en [matemática] x = a [/ matemática] diciendo “Tome el punto [matemática] (a, f (a )) [/ math]; luego agrega una cantidad infinitesimal a a, a + dx, y toma el punto (a + dx, f (a + dx)), y dibuja la línea a través de esos dos puntos “. Pero si son dos puntos diferentes en el gráfico, entonces no es una tangente, y si es solo un punto, entonces no puede definir la línea porque solo tiene un punto. Eso es solo dos de los problemas con los infinitesimales. (Ver abajo donde dice ” Sin embargo … “, sin embargo).
Entonces, el cálculo se reescribió esencialmente desde cero en los siguientes 200 años para evitar estos problemas, y está viendo los resultados de esa reescritura (de ahí provienen los límites, por ejemplo). Debido a esa reescritura, la derivada ya no es un cociente , ahora es un límite :

[matemáticas] \ lim_ {h \ to0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/ matemáticas].

Y debido a que no podemos expresar este límite de un cociente como un cociente de los límites (tanto el numerador como el denominador van a cero), entonces la derivada no es un cociente.
Sin embargo, la notación de Leibniz es muy sugerente y muy útil; aunque los derivados no son realmente cocientes, en muchos sentidos se comportan como si fueran cocientes. Entonces tenemos la regla de la cadena:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \; \ frac {du} {dx} [/ matemáticas]

que parece muy natural si piensas en las derivadas como “fracciones”. Tienes el teorema de la función inversa, que te dice que

[matemáticas] \ frac {dx} {dy} = \ frac {1} {\ quad \ frac {dy} {dx} \ quad} [/ matemáticas],

lo que de nuevo es casi “obvio” si piensas en las derivadas como fracciones. Entonces, debido a que la notación es tan agradable y sugerente, mantenemos la notación a pesar de que la notación ya no representa un cociente real , ahora representa un límite único. De hecho, la notación de Leibniz es tan buena, tan superior a la notación principal y a la notación de Newton, que Inglaterra se quedó atrás de toda Europa durante siglos en matemáticas y ciencias porque, debido a la lucha entre el campo de Newton y Leibniz sobre quién había inventado el cálculo y quién se lo robó a quién (el consenso es que cada uno lo descubrió independientemente), el establecimiento científico de Inglaterra decidió ignorar lo que se estaba haciendo en Europa con la notación de Leibniz y se aferró a Newton … y se quedó atrapado en el barro en gran parte debido a ello.
(Los diferenciales son parte de este mismo problema: originalmente, dy y dx realmente significaban lo mismo que esos símbolos en dy / dx, pero eso lleva a todo tipo de problemas lógicos, por lo que ya no significan lo mismo, aunque se comportan como si lo hicieran)
Entonces, a pesar de que escribimos dy / dx como si fuera una fracción, y muchos cálculos parecen estar trabajando con ella como una fracción, en realidad no es una fracción (solo reproduce una en la televisión).
Sin embargo … Hay una manera de sortear las dificultades lógicas con los infinitesimales; Esto se llama análisis no estándar . Es bastante difícil explicar cómo se configura, pero se puede pensar que crea dos clases de números reales: aquellos con los que está familiarizado, que satisfacen cosas como la Propiedad Archimedean, la Propiedad Supremum, etc., y luego agrega otra clase separada de números reales que incluye infinitesimales y un montón de otras cosas. Si hace eso, puede , si tiene cuidado, definir derivados exactamente como Leibniz, en términos de infinitesimales y cocientes reales; si haces eso, todas las reglas de cálculo que hacen uso de dy / dx como si fuera una fracción están justificadas porque, en ese contexto , es una fracción. Aún así, uno debe tener cuidado porque debe mantener separados los infinitesimales y los números reales regulares y no dejar que se confundan, o puede encontrarse con algunos problemas graves.

tl; dr No es una fracción, pero a veces pensar que uno tiene sentido intuitivo y facilita las cosas, pero cuando [math] dy [/ math] y [math] dx [/ math] son ​​diferenciales, [math] dy \ div dx [/ math] tiene el mismo valor que [math] dy / dx [/ math]