Cómo tomar la antiderivada de ambos lados de una ecuación y tratar con las constantes de integración

Answer 1

Ya tienes una respuesta pero aún no la sabes

Dejar

[matemáticas] f_n (x) = (1 + x) ^ n [/ matemáticas]

Entonces, el cálculo simple muestra que la derivada es

[matemáticas] {f ‘} _ n (x) = n (1 + x) ^ {n-1} = n f_ {n-1} (x) [/ matemáticas]

Ahora considere las sumas:

[matemáticas] g_n (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} x ^ k [/ matemáticas]

Calcule la derivada:

[matemáticas] {g ‘} _ n (x) = \ sum_ {k = 1} ^ {n} k \ binom {n} {k} [/ matemáticas]

He comenzado la suma con k = 1 porque el coeficiente del primer término es 0.

Ahora cambiamos la variable sumatoria:

[matemáticas] k = j + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] {g ‘} _ n (x) = \ sum_ {j = 0} ^ {n-1} \ binom {n} {j + 1} [/ matemáticas]

Un poco de álgebra confirma que

[matemáticas] \ binom {n} {j + 1} = n \ binom {n-1} {j} [/ matemáticas]

Entonces

{g ‘} _ n (x) = \ sum_ {j = 0} ^ {n-1} n \ binom {n-1} {j} = n g_ {n-1} (x)

En combinación tenemos eso

Adicionalmente,

[matemáticas] f_n (0) = g_n (0) = 1 [/ matemáticas]

para todos los n.

Entonces, para cada valor de n, las siguientes ecuaciones diferenciales:

[matemáticas] F’_n (x) = f_n (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] F’_n (0) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] G’_n (x) = g_n (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] G_n (0) = 1 [/ matemáticas]

tiene soluciones

[matemáticas] F_n (x) = \ frac {1} {n + 1} f_ {n + 1} (x) = \ frac {1} {n + 1} g_ {n + 1} (x) = G_n ( x) [/ matemáticas]

Answer 2

Tienes
[matemáticas] \ dfrac {(x + 1) ^ {n + 1}} {(n + 1)} + C_1 [/ matemáticas] [matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n } {k} \ dfrac {x ^ {k + 1}} {k + 1} + C_2 [/ matemáticas].

Ahora intente enchufar [math] x = 0 [/ math]. Tienes
[matemáticas] \ frac {1} {n + 1} + C_1 = C_2 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] C_2-C_1 = \ frac {1} {n + 1}. [/ matemáticas]

Al final tienes
[matemáticas] \ dfrac {(x + 1) ^ {n + 1}} {(n + 1)} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} { k} \ dfrac {x ^ {k + 1}} {k + 1} + \ frac {1} {n + 1} [/ matemáticas]

Si multiplica por [matemática] n + 1 [/ matemática] en ambos lados, reproduce la fórmula binomial con la que comenzó, pero con un nuevo exponente.

Answer 3

Tienes :
[matemáticas] \ int_y ^ x (1 + t) ^ n dt = \ int_y ^ x \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} t ^ k dt [/ matemáticas]

Entonces
[matemáticas] \ frac {(x + 1) ^ {n + 1}} {n + 1} – \ frac {(y + 1) ^ {n + 1}} {n + 1} [/ matemáticas] = [ matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k}
\ frac {x ^ {k + 1}} {k + 1} – \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} \ frac {y ^ {k + 1}} {k + 1} [/matemáticas]

Solo elige y

Answer 4

No lo sabrá a menos que se especifique una condición inicial. Como resolver cualquier ecuación diferencial.