¿Se puede demostrar matemáticamente que la diferenciabilidad implica continuidad?

Answer 1

Diferenciable implica continuo

Teorema: si f es diferenciable en x0, entonces f es continuo en x0.

Necesitamos probar este teorema para poder usarlo para encontrar fórmulas generales para productos y cocientes de funciones.

Comenzamos escribiendo lo que necesitamos probar; elegimos esto cuidadosamente para facilitar el resto de la prueba. Queremos mostrar que:

lim f (x) – f (x0) = 0. x → x0

Esto es lo mismo que decir que la función es continua, porque para demostrar que una función era continua mostraríamos que lim f (x) = f (x0). x → x0

Probamos lim f (x) – f (x0) = 0 multiplicándolo y dividiéndolo por el mismo número x → x0; esto no cambiará su valor.

lim f (x) – f (x0) = lim f (x) – f (x0) (x – x0) x → x0 x → x0 x – x0

= f´ (x) · 0

= 0.

(Observe que usamos nuestra suposición de que f era diferenciable cuando escribimos f´ (x).)

¡Pero espera! Cuando multiplicamos y dividimos por x − x0, ¿no estábamos multiplicando y dividiendo por cero? Sabemos por nuestras clases de álgebra que esto nunca funciona. Resulta que estamos a salvo porque estamos usando límites. Aunque x se acerca más y más a x0, en realidad nunca es igual a x0, por lo que nunca dividimos entre 0. Para eso son los límites; x – x0 puede ser pequeño, pero siempre es distinto de cero.

Entonces, este cálculo es válido, es cierto que lim f (x) −f (x0) = 0, y es cierto x → x0 que las funciones diferenciables son continuas.

Answer 2

Sí, más bien simplemente.
Deje [math] f (x) [/ math] ser diferenciable en un punto [math] x_0 [/ math]
Entonces, como [math] h \ rightarrow 0 [/ math], [math] \ frac {f (x_0 + h) -f (x_0)} {h} [/ math] está delimitado por alguna constante [math] C [ /matemáticas]. Por lo tanto, como [matemática] | h | [/ matemática] se vuelve lo suficientemente pequeña, [matemática] | f (x_0 + h) -f (x_0) | \ leq C | h | [/ math], lo que implica la continuidad de [math] f (x) [/ math] en [math] x = x_0 [/ math]

Answer 3

f es diferenciable en el punto a <=>
Soy un número real. y función fa de] x0; x1 [donde xo diferente de x1 y x0, x1 son números reales

entonces:

pero
y

entonces

entonces

entonces

Eso demuestra que f es continua en el punto a.

Answer 4

Si.

Aquí está la idea básica: considere el cociente de diferencia,

[matemáticas] \ frac {f (x) -f (a)} {xa}. [/ matemáticas]

Obviamente el denominador se acerca a 0 cuando x se acerca a a . Si el numerador no se acerca a 0, entonces el límite no se definirá cuando x se acerque a a .

Entonces, si el límite está definido, es decir, si f es diferenciable en a, entonces f también debe ser continuo allí, es decir, f ( x ) debe acercarse a f ( a ).