Premio Abel 2015: ¿Cuáles son algunas de las contribuciones más significativas de John Forbes Nash Jr. y Louis Nirenberg a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales y análisis geométrico?

Answer 1

John Nash demostró que cualquier variedad abstracta de Riemann (que es una variedad con algunos datos adicionales que le permite medir distancias y ángulos) puede integrarse isométricamente en el espacio euclidiano. En ese sentido, no hay otras variedades riemannianas que sub-variedades del espacio euclidiano. Este es un resultado altamente no trivial. Cualquier variedad es localmente como un subconjunto del espacio euclidiano (por ejemplo, la tierra se ve localmente plana, como un plano bidimensional). Pero una vez que introduce una métrica, incluso probar que una variedad riemanniana es localmente como el espacio euclidiano con la función de distancia habitual, es altamente no trivial, y creo que era desconocido antes del teorema de Nash. Para la prueba, Nash desarrolló un nuevo e intrincado teorema de función implícita basado en el método de Newton-Raphson que los estudiantes de los EE. UU. Estudian en Calc-1 o 2. Esto fue seguido por un trabajo aún más fundamental sobre la regularidad de las soluciones a la llamada La divergencia forma ecuaciones diferenciales elípticas de segundo orden. Aunque aquí, fue emparejado independientemente también por di Giorgi usando un método diferente.

Para dar un poco de historia: Resulta que mostrar la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales (PDE) directamente es muy difícil (e imposible escribir fórmulas reales para soluciones en casi todos los casos). Entonces, a principios del siglo XX, los matemáticos comenzaron a idear métodos más indirectos, a saber, definir algún tipo de soluciones débiles y demostrar que al menos existen. Luego trate de demostrar que he aquí, estas soluciones débiles son realmente muy buenas (es decir, son continuas, diferenciables o suaves, dependiendo de su problema original), y son precisamente las soluciones que estaba buscando originalmente. Esto se llama el problema de regularidad. Un resultado fundamental temprano fue el de Weyl sobre el problema de regularidad para la ecuación de Laplaces, que es la PDE de segundo orden más agradable que se pueda imaginar. El siguiente gran avance, que realmente inició la teoría de la regularidad para las ecuaciones diferenciales elípticas, fue el resultado de Nash y di-Giorgi.

En cuanto a Nirenberg, ha sido una especie de figura paterna en PDE. De hecho, si no recuerdo mal, el problema de regularidad anterior también fue sugerido a Nash por Nirenberg. Junto con colaboradores como Caffarelli, Spruck, Kohn, ha realizado contribuciones fundamentales a la existencia y regularidad de PDE no lineales de segundo orden, como las ecuaciones de Monge-Ampere. Como no soy un experto en estos temas, no soy la persona adecuada para dar detalles. En mi campo de interés, la geometría compleja, es conocido por su contribución fundamental: el teorema de Newlander-Nirenberg. Pero nuevamente, esta publicación ya es larga, y no sé cómo hacer justicia a este teorema en palabras simples. Como probablemente diría Feynman, ¡tal vez no lo entiendo muy bien!