¿Existe un teorema que pruebe que una ecuación diferencial lineal homogénea de orden [matemática] n [/ matemática] (con coeficientes constantes) tiene soluciones o bases generales linealmente independientes [matemática] n [/ matemática]?

Answer 1

Probablemente sí, pero este es un corolario simple que uno puede hacer como ejercicio.

De hecho, deje que [math] z_1 = y, z_2 = y ‘, z_3 = y’ ‘, \ ldots, z_ {n} = y ^ {(n-1)} [/ math].

Luego obtienes un sistema de ODE lineal de primer orden en la forma [math] z ‘= Az [/ math] para algunos [math] A \ in \ mathbf {R} ^ {n \ times n} bastante especiales /matemáticas].

Este es un hecho bien conocido que tiene la solución única dada una condición inicial (no se necesita constancia de coeficientes) por alguna generalización del teorema de Picard-Lindelöf.

Además, esta solución tiene la forma de exponente matricial [math] \ exp (At) c_0 [/ math]. Variando [math] c_0 [/ math] obtienes la solución general. Está interesado en la primera fila de esta matriz que corresponde a la [matemática] y = z_1 [/ matemática] original.

Ahora considere las columnas de la matriz [math] \ exp (At) e_1, \ exp (At) e_2, \ ldots \ exp (At) e_n [/ math]. Verá que son linealmente independientes para todos [math] t \ in \ mathbf {R} [/ math] ya que [math] \ det \ exp (At) \ neq 0 [/ math] y el rango de rango de [math] \ exp (At) [/ matemáticas].
Ahora, utilizando el criterio de Wronskian, puede concluir que las soluciones también son linealmente independientes.