La ecuacion:
[matemáticas] \ displaystyle {(1-x ^ 2) y ” -2xy ‘-2y = 0} \ qquad (1) [/ matemáticas]
Como no tenemos una forma obvia de encontrar una solución particular de (1), debemos tratar de encontrar su solución general en forma de una serie de potencia de la siguiente manera:
[matemáticas] \ displaystyle {y = C_0 + C_1x + C_2x ^ 2 + \ dots + C_nx ^ 2 + \ dots = \ sum ^ {\ infty} _ {n = 0} {C_nx ^ n}} \ qquad (2) [/matemáticas]
donde [math] \ displaystyle {C_0, C_1, C_2, \ dots, C_n, \ dots} [/ math] son constantes, entonces:
[matemáticas] \ displaystyle {y ‘= \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} {nC_nx ^ {n-1}}} [/ math] y
[matemáticas] \ displaystyle {y ” = \ sum ^ {\ infty} _ {n = 2} {n (n-1) C_nx ^ {n-2}}} [/ math]
así:
[matemáticas] \ displaystyle {(1-x ^ 2) y ” = (1-x ^ 2) \ sum ^ {\ infty} _ {n = 2} n (n-1) C_nx ^ {n-2} = \ sum ^ {\ infty} _ {n = 2} n (n-1) C_nx ^ {n-2} – \ sum ^ {\ infty} _ {n = 2} n (n-1) C_nx ^ n = \ sum ^ {\ infty} _ {n = 0} (n + 2) (n + 1) C_ {n + 2} x ^ n – \ sum ^ {\ infty} _ {n = 2} n (n -1) C_nx ^ n} \ qquad (3) [/ math]
(reindexamos el primer término)
- Cómo hacer este problema que implica encontrar las tangentes horizontales y verticales dada la ecuación polar
- ¿Cómo se demuestra que el principio de superposición significa que se pueden sumar todas las soluciones de un sistema lineal? ¿Y qué es un sistema lineal en realidad?
- ¿Cómo resolvemos para [matemáticas] x [/ matemáticas] si la ecuación es la forma de [matemáticas] x ^ {x} [/ matemáticas]? Por ejemplo [matemáticas] x ^ {x} = 5 [/ matemáticas].
- ¿Se puede demostrar matemáticamente que la diferenciabilidad implica continuidad?
- Cómo tomar la antiderivada de ambos lados de una ecuación y tratar con las constantes de integración
y
[matemáticas] \ displaystyle {2xy ‘= 2x \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} nC_nx ^ {n-1} = 2 \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} nC_nx ^ n} \ qquad (4) [/ matemáticas]
Inserte la ecuación (2), (3) y (4) en la ecuación (1), en consecuencia, tenemos una identidad:
[matemáticas] \ displaystyle {\ left (\ sum ^ {\ infty} _ {n = 0} (n + 2) (n + 1) C_ {n + 2} x ^ n – \ sum ^ {\ infty} _ {n = 2} n (n-1) C_nx ^ n \ right) – 2 \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} nC_nx ^ n – 2 \ sum ^ {\ infty} _ {n = 0} C_nx ^ n \ equiv 0} [/ math]
Recopilando términos con el mismo grado, la identidad será:
[matemáticas] \ displaystyle {2 (C_2 – C_0) + 2 (3C_3 – 2C_1) x + \ sum ^ {\ infty} _ {n = 2} \ left [(n + 2) (n + 1) C_ {n +2} – (n ^ 2 + n + 1) C_n \ right] x ^ n \ equiv 0} \ qquad (5) [/ math]
Dado que la ecuación (5) se cumple para todos [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], debemos tener un sistema a continuación:
[matemáticas] \ displaystyle {2 (C_2 – C_0) = 0} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle {2 (3C_3 – 2C_1) = 0} [/ matemáticas] y
[matemáticas] \ displaystyle {(n + 2) (n + 1) C_ {n + 2} – (n ^ 2 + n + 1) C_n = 0} \ qquad n = 2,3, \ puntos [/ matemáticas]
En otras palabras, tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {C_2 = C_0} \ qquad (6) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle {C_3 = \ frac {2} {3} C_1} \ qquad (7) [/ matemáticas] y
[matemáticas] \ displaystyle {C_ {n + 2} = \ frac {n ^ 2 + n + 1} {(n + 1) (n + 2)} C_n}, \ forall n \ ge 2 \ qquad (8) [/matemáticas]
Si se dan los valores iniciales, por ejemplo, se conocen [matemáticas] y (0), y ‘(0) [/ matemáticas], entonces no es difícil comprobar que:
[matemáticas] \ displaystyle {C_0 = y (0)} \ qquad (9) [/ matemáticas] y
[matemáticas] \ displaystyle {C_1 = y ‘(0)} \ qquad (10) [/ matemáticas]
Entonces, el sistema que consiste en las ecuaciones (6), (7), (8), (9) y (10) define la solución en forma de una serie de potencias. Quedaba un problema, todavía tenemos que demostrar que la serie de soluciones es convergente en cierto dominio.
