¿Cómo resolverías esta ecuación diferencial homogénea [matemática] (x ^ 2 + xy) dy = (x ^ 2 + y ^ 2) dx? [/ Matemática]

Conviértalo en una forma equivalente:
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} – \ frac {1 + (\ frac {y} {x}) ^ 2} {1+ \ frac {y} {x}} = 0 [/ matemáticas]
Esta es una ecuación de forma especial y su solución se resuelve siguiendo procedimientos estándar y adjunto la referencia en la parte inferior:
definir
[matemáticas] f (v) = – \ frac {1 + v ^ 2} {1 + v} [/ matemáticas]
necesitamos encontrar la antiderivada de
[matemática] \ frac {1} {f (v) -v} = – \ frac {v + 1} {2v ^ 2 + v + 1} [/ matemática].
Después de algunas manipulaciones,
[matemáticas] \ int \ frac {dv} {f (v) -v} = – \ frac {1} {4} \ ln | 2v ^ 2 + v + 1 | – [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac { 3 \ sqrt {7}} {14} \ arctan (\ frac {4v + 1} {\ sqrt {7}}) + C [/ math]
Introducir una expresión de [math] \ Xi (x, y) = \ int \ frac {dv} {f (v) -v} – \ ln | x | [/ math]
[matemáticas] = – \ frac {1} {4} \ ln | \ frac {2y ^ 2 + yx + x ^ 2} {x ^ 2} | – [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {3 \ sqrt { 7}} {14} \ arctan (\ frac {4y + x} {\ sqrt {7} x}) – \ ln | x | [/ math]
, donde reemplazamos [math] v [/ math] con [math] \ frac {y} {x} [/ math] y descartamos C.
La solución [matemáticas] y [/ matemáticas] satisface la ecuación algebraica:
[math] y = \ Phi (\ Xi (x, y)) [/ math], siendo [math] \ Phi [/ math] una función arbitraria.
A continuación se muestra el enlace sobre la solución para este tipo de ecuación.
Página en eqworld.ipmnet.ru

para dif. homogénea las ecuaciones siempre ponen variable dependiente y = kx
donde k es cualquier constante.
después de eso diferenciarlo con respecto a x que dará
dy / dx = k + x * (dk / dx)
después del cálculo obtendrás la ecuación
(1-k / 1 + k) dk = dx / x.
ahora solo integre esta ecuación y sustituya k = y / x.

Esto parece una pregunta de HW, así que solo estoy dando pistas.

Es una ecuación diferencial homogénea,
sustituir y = vx o x = por

Si realmente necesita la solución completa, primero intente resolverla usted mismo y pregúnteme en los comentarios y actualizaré esta respuesta.

Este tipo parece estar usando Quora para hacer su tarea; o eso, o está tratando de descubrir quién sabe realmente sus cosas y quién no. (Tiene varias preguntas muy similares publicadas). Tenga esto en cuenta al elegir si responderá sus preguntas y cómo hacerlo.