¿Cómo se evaluaría integral [matemática] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ frac {2n \ pi} {k}} \ frac {a \ sin (kx)} {(a ^ 2 + x ^ 2) ^ {3/2 }} \, dx [/ math]?

Answer 1

Para facilitar la escritura, configuremos [math] b = \ frac {2n \ pi} {k} [/ math]. Deje que la integral requerida se denote como
[matemáticas] I (a) = \ int_0 ^ b \ frac {a \ sin (kx)} {(a ^ 2 + x ^ 2) ^ {3/2}} \ mathrm {d} x [/ math].
Ahora, considere la integral
[matemáticas] S (a) = \ int_0 ^ b \ sqrt {a ^ 2 + x ^ 2} \ sin (kx) \ mathrm {d} x [/ math].
Dado que los límites son independientes de [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] S [/ matemáticas] y [matemáticas] I [/ matemáticas] pueden relacionarse por
[matemáticas] I = – \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} \ big (\ frac {1} {a} \ frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} a} \ big) \ dotsi (1) [/ math] usando la regla de Leibnitz para diferenciar bajo el signo integral.
Integrando [math] S [/ math] por partes una vez, obtenemos
[matemáticas] S = \ frac {a- \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} {k} + \ frac {1} {k} \ int_0 ^ b \ frac {a \ cos (kx)} {\ sqrt {a ^ 2 + x ^ 2}} \ mathrm {d} x [/ math].
Integrando por partes nuevamente, llegamos a
[matemáticas] S = \ frac {a- \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} {k} + \ frac {a} {k ^ 2} I [/ matemáticas].
Sustituyendo la relación funcional anterior en la ecuación [matemáticas] (1) [/ matemáticas], llegamos a la EDO
[matemáticas] I = – \ big (\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} \ big (\ frac {1} {a} \ big) \ frac {\ mathrm {d}} { \ mathrm {d} a} \ big) \ bigg (\ frac {a- \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} {k} + \ frac {a} {k ^ 2} I \ bigg) [/ matemáticas]. simplificando aún más, obtenemos

[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} ^ 2I} {\ mathrm {d} a ^ 2} + \ frac {1} {a} \ frac {\ mathrm {d} I} {\ mathrm {d} a } + \ big (k ^ 2- \ frac {1} {a ^ 2} \ big) I = k \ bigg (\ frac {1} {a ^ 2} – \ frac {a} {(a ^ 2 + b ^ 2) ^ {3/2}} \ bigg) \ dotsi (2) [/ math]

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La ecuación [matemáticas] (2) [/ matemáticas] es lineal, no homogénea. La solución general implica una combinación lineal de las funciones complementarias y una integral particular. Las funciones complementarias [matemáticas] C (a) [/ matemáticas] satisfacen la ecuación homogénea
[matemática] \ frac {\ mathrm {d} ^ 2C} {\ mathrm {d} a ^ 2} + \ frac {1} {a} \ frac {\ mathrm {d} C} {\ mathrm {d} a } + \ big (k ^ 2- \ frac {1} {a ^ 2} \ big) C = 0 [/ math]. Esta es la ecuación diferencial de Bessel, con [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, la solución general (a la ecuación homogénea) se puede escribir como
[matemática] C = c_1 \ matemática {J} _1 (ka) + c_2 \ matemática {Y} _1 (ka) [/ matemática]. Si el lector no está expuesto a las funciones de Bessel, se recomienda el uso del Método Frobenius para resolver DE. El resultado (aunque con algo de dolor extra) sería el mismo que el anterior.
Ahora, usando estas soluciones generales, se puede encontrar una integral particular empleando el método de Variación de Parámetros. Estoy omitiendo algunos pasos aquí, para mantener la respuesta corta. Un ingrediente importante para usar el método de variación de parámetros (para el problema actual) requiere las funciones Wronskian de Bessel [math] \ mathrm {W} (\ mathrm {J} _1 (ka), \ mathrm {Y} _1 ( ka)) = 2 / \ pi a [/ math], que es un ejercicio popular en la aplicación de la identidad de Abel [Ref. Sobre las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel]. Por lo tanto, la solución completa está dada por

[matemáticas] I = c_1 \ mathrm {J} _1 (ka) + c_2 \ mathrm {Y} _1 (ka) – \ frac {k ^ 2 \ pi} {2} \ mathrm {J} _1 (ka) \ int ^ a \ mathrm {Y} _1 (kx) \ bigg (\ frac {1} {x} – \ frac {x ^ 2} {(x ^ 2 + b ^ 2) ^ {3/2}} \ bigg) \ mathrm {d} x + \ frac {k ^ 2 \ pi} {2} \ mathrm {Y} _1 (ka) \ int ^ a \ mathrm {J} _1 (kx) \ bigg (\ frac {1} { x} – \ frac {x ^ 2} {(x ^ 2 + b ^ 2) ^ {3/2}} \ bigg) \ mathrm {d} x + c_3 \ dotsi (3) [/ math].

donde, [math] c_3 [/ math] es una constante arbitraria que se ocupa de los límites inferiores no especificados en las integrales en el RHS.

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Todo lo que queda es encontrar las constantes [matemáticas] c_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] c_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] c_3 [/ matemáticas]. Las constantes se pueden arreglar con tres condiciones ‘iniciales’ u otra información sobre la función [matemática] I (a) [/ matemática]. Una práctica general es elegir:
[matemáticas] S (0) = \ int_0 ^ bx \ sin (kx) \ mathrm {d} x = – \ frac {b} {k} [/ matemáticas] y
[matemáticas] S ‘(0) = 0 [/ matemáticas] que, se deduce de la definición de [matemáticas] S [/ matemáticas]. Sin embargo, al usar estos nos metemos en problemas, ya que, en la vecindad de [matemática] a = 0 [/ matemática] las integrales involucradas en la ecuación [matemática] (3) [/ matemática] divergen para muchos valores de [matemática] b [ /matemáticas]. En cualquier caso, parece que una mayor simplificación no es posible sin restringir el rango de [matemáticas] a [/ matemáticas] a algún intervalo, dentro del cual las constantes se pueden encontrar sin problemas. Finalmente, la solución a la integral original se da en la ecuación [matemática] (3) [/ matemática], hasta tres parámetros indeterminados.

PD: La sugerencia de Nikhil Tilak también es muy prometedora. Siguiendo este enfoque, nos encontramos con la integral [matemática] \ int_0 ^ b \ frac {x \ cos (kx)} {\ sqrt {a ^ 2 + x ^ 2}} \ mathrm {d} x [/ math] que, puede ser evaluado como una serie infinita que involucra la función hipergeométrica de Gauss [matemáticas] _2F_1 (a, b, c, z) [/ matemáticas].

¡salud!

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