Cómo discutir por qué la ecuación diferencial lineal de segundo orden [matemáticas] y ” + 2y ‘+ 4y = 5 \ sen t [/ matemáticas] tiene una solución de la forma [matemáticas] y = A \ sen t + B \ cos t [/matemáticas]

Answer 1

En general, no lo hace, pero lo hace para valores específicos de A y B.
Primero tenga en cuenta que si diferencia y 2 veces, termina con -y, por lo que puede reescribir la ecuación como
[matemáticas] 2y ‘+ 3y = 5 \ sen t [/ matemáticas]
A partir de ahí, conectemos y veamos qué sucede:
[2 (A \ cos t – B \ sin t) + 3 (A \ sin t + B \ cos t)] = 5 \ sin t [/ matemáticas],
[matemáticas] (3B + 2A) \ cos t + (3A – 2B) \ sin t = 5 \ sin t [/ matemáticas].

Ahora, el término coseno está arruinando todo, por lo que si eso no se cancela, no tenemos una solución (si encuentra dónde se encuentra la igualdad, solo aumente un poquito y se romperá).
Ok, entonces matemos el término coseno:
[matemática] 3B + 2A = 0 \ Leftrightarrow A = – \ frac {3} {2} B [/ matemática].

Simplemente conectemos esto a la ecuación que teníamos antes (recuerde que el coseno ya no está):
[matemáticas] 3 \ cdot \ frac {-3} {2} B – 2B = 5 \ sen t [/ matemáticas],
[matemáticas] – \ frac {13} {2} B \ sin t = 5 \ sin t [/ matemáticas],
[matemáticas] B = – \ frac {10} {13} [/ matemáticas].

Agradable. Me pregunto qué es A:
[matemática] A = – \ frac {3} {2} B = \ frac {3 \ cdot 10} {2 \ cdot 13} = \ frac {15} {13} [/ matemática].

Entonces sí, para esos valores de A y B, tienes una solución.

Answer 2

En primer lugar, debe resolver la parte homogénea [matemática] y ” + 2y ‘+ 4y = 0 [/ matemática] a través de su ecuación característica [matemática] r ^ 2 + 2r + 4 = 0 [/ matemática] que nos da un par conjugado [matemática] -1 \ pm \ sqrt {3} i [/ matemática].
Para cuidar la parte no homogénea, observar la función de fuente especial del lado derecho es [math] cos [/ math], por lo que se puede encontrar una solución especial a través del método de coeficiente indeterminado asumiendo que es de la forma [math ] y = A \ sen t + B \ cos t [/ math]. No hay resonancia en este problema en particular, puede conectar este formulario especial a la ODE original para recopilar términos similares y determinar el valor de A y B.

Answer 3

Este es un simple problema de álgebra lineal.

Puede considerar un mapa lineal [math] \ mathcal {L}: X \ to X [/ math], donde
[math] \ mathcal {L} (y) = y ” + 2y ‘+ 4y [/ math], y [math] X [/ math] es un 2 dim. [math] \ mathbf {R} [/ math ] – espacio vectorial atravesado por [math] \ sin [/ math] y [math] \ cos. [/ Math]

Al resolver una ecuación homogénea [matemática] y ” + 2y ‘+ 4y = 0 [/ matemática]
usando un polinomio característico, verá que su solución general no contiene ninguna combinación lineal de [math] \ sin [/ math] y [math] \ cos [/ math].

Implica que [math] \ mathrm {Ker} {~ \ mathcal {L}} = 0 [/ math]. Por lo tanto, [math] \ mathcal {L} [/ math] es inyectiva y, por lo tanto, es biyectiva ya que [math] X [/ math] es un espacio vectorial de dimensión finita. Por lo tanto, tiene el inverso.

Implica que cualquier ecuación [matemática] \ matemática {L} (y) (x) = c \ sin (x) + d \ cos (x) [/ matemática] siempre tiene una solución en la forma mencionada anteriormente, en particular si [ matemática] c = 5 [/ matemática] y [matemática] d = 0 [/ matemática] como en su ejemplo.

Answer 4

Gracias por el A2A. La página vinculada a continuación tiene una buena explicación de las ecuaciones diferenciales de segundo orden, pero personalmente no sé mucho sobre ellas.
Notas en línea de Pauls: Ecuaciones diferenciales

Answer 5

Este es un problema introductorio de diferencias eq. Convierte el seno a

[matemáticas] sin (x) = (e ^ {ix} – e ^ {- ix}) / 2 [/ matemáticas]

Luego adivina una solución que la suma de exponenciales multiplicada por constantes desconocidas. Luego resuelve las constantes.

Answer 6

Bueno, es un problema de ecuación diferencial fácil, necesita determinar la ecuación característica por y = [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] y es la primera y la segunda diferencia por x

Después de esta declaración, tendrá la ecuación homogénea y ahora debería comenzar a resolver el ….. = 5sinx

Después de “=” tenemos sinx y es constante como “5”

Si asumimos nuestra solución como y = Asin (x) + Bcos (x) y reemplazamos sus diferenciales 1º y 2º, obtenemos la solución particular

Finalmente, la solución general = solución característica (para esta ecuación tiene raíces complejas) + solución particular.

Espero que ayude..

Answer 7

Encuentre la solución exacta a su pregunta. No dude en preguntar si tiene alguna duda 🙂