¿Qué es una ecuación diferencial parcial y dónde puedo encontrar un recurso para principiantes?

Answer 1

Asumiré que esencialmente solo conoce los conceptos básicos del cálculo (es decir, derivados e integración).

Si tiene una función de, por ejemplo, [matemática] x [/ matemática], llamémosla [matemática] f (x) [/ matemática] por simplicidad, es fácil encontrar la derivada si la función a través del proceso de diferenciación , proporcionándonos una función derivada comúnmente denotada por [math] f ‘(x) [/ math]. Esta función describe, gráficamente, la pendiente de cada línea tangente a [matemática] f (x) [/ matemática]. Menos gráficamente, se le puede llamar la tasa de cambio de [matemáticas] f [/ matemáticas] con respecto a x .

Ahora, en ecuaciones diferenciales. Probablemente esté muy familiarizado con el concepto de resolver una ecuación para un valor real. Por ejemplo, si tenemos la ecuación [matemáticas] 2x + 3 = 1 [/ matemáticas], es fácil de resolver para [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas]. Incluso podríamos resolver la ecuación [matemáticas] 2y (x) + 2x = 0 [/ matemáticas], que da la línea [matemáticas] y (x) = -x [/ matemáticas]. Esto se acerca a las ecuaciones diferenciales, ya que todas estas ecuaciones son simples ecuaciones que contienen tanto una función como su derivada. Un ejemplo sería [matemática] y ‘(x) = y (x) [/ matemática], para la cual la solución general es obviamente [matemática] y (x) = Ce ^ x [/ matemática] para alguna constante [matemática] C [/ matemáticas]. Por lo tanto, solo estamos resolviendo una ecuación nuevamente, pero esta vez contiene una función, por ejemplo, el número de átomos radiactivos en una caja, y la tasa de cambio de esta función, que en este caso sería qué tan rápido el número total de átomos está disminuyendo.

Ahora, una ecuación diferencial parcial es muy similar. En este caso, sin embargo, en lugar de una función [matemática] y [/ matemática] de una sola variable [matemática] x [/ matemática], tenemos una función, digamos [matemática] u (x, t) [/ matemática ] que es una función de [math] x [/ math] y [math] t [/ math]. Una representación física podría ser, por ejemplo, que la cantidad de automóviles depende de dónde se mire y cuánto tiempo haya pasado. Esto es realmente así, aunque no entraré en detalles sobre las PDE ya que el campo es muy vasto y contiene muchas notaciones y diferencias técnicas diferentes dependiendo de a quién se lo pregunte. Sin embargo, la base permanece: una ecuación diferencial normal se ocupa de una función y su derivada (s), donde la función es solo una función de variable única. Un PDE es lo mismo pero se ocupa de funciones de múltiples variables .

En cuanto a los recursos, recomendaría comprobar el cálculo de múltiples variables antes de pasar a PDE.

Answer 2

Una ecuación diferencial parcial es una ecuación que contiene una o más derivadas de una función de múltiples variables independientes. Entonces, una ecuación que contenga cualquier número de derivadas de u (x, y, … t), de cualquier orden, con respecto a (x, y, … t), sería un PDE.

Esto contrasta con una ecuación diferencial ordinaria, que es una ecuación que incluye las derivadas de una función de una sola variable independiente. Tal ecuación podría ser una ecuación que contenga cualquier número de derivadas de x (t), de cualquier orden y con respecto a (t).

Con respecto a un recurso sólido, recomiendo el texto de Farlow y / o el texto de Zachmanoglou.

Si los textos son demasiado, recomiendo recoger el texto de Reshetnyak en ODES y un texto sólido en el cálculo vectorial.

Answer 3

Una ecuación diferencial parcial es una ecuación diferencial que tiene, como desconocido, una función de varias variables. Las ecuaciones diferenciales parciales más estudiadas son las que provienen de la física, y generalmente el primer enfoque que se tiene con las PDE es el método de separación de variables. Puede encontrar más información al respecto, por ejemplo, en “Introducción a la electrodinámica” de Griffiths.