¿Cuál es la solución de: [matemáticas] y ” + y ‘^ 3 \ sin y = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

EDITAR: estropeé algunas cosas. La respuesta ahora se ha actualizado 🙂

Bueno, ya das la sustitución [math] z = y ‘= \ frac {dy} {dx} [/ math]. Ahora consideramos [math] z [/ math] como una función de [math] y [/ math] y tomamos el derivado [math] x [/ math] usando la regla de la cadena para obtener: [math] y ” = \ frac {dz} {dx} = \ frac {dz} {dy} \ frac {dy} {dx} = z ‘\ cdot z [/ math].

Insertar en la ecuación original da:
[matemática] z \ cdot z ‘+ z ^ 3 \ sin (y) = 0 [/ matemática], que se simplifica a
[matemática] z ‘+ z ^ 2 \ sin (y) = 0 [/ matemática].

Este es un ODE de primer orden, y puede separar las variables y resolver [math] z (y) [/ math]. Esto da [matemáticas] z = \ frac {1} {- \ cos (y) + C} [/ matemáticas]. Ahora sustituya de nuevo [math] z = y ‘[/ math], y obtendrá el siguiente ODE de primer orden: [math] y’ = \ frac {1} {- \ cos (y) + C} [/ math], que se puede resolver mediante la integración.

Answer 2

Obviamente [math] y \ equiv C_0 [/ math] satisface la solución. Cuando [matemáticas] y ‘\ neq0 [/ matemáticas]
una forma equivalente es [math] \ frac {y ”} {(y ‘) ^ 2} = – \ sin (y) y’ [/ math], tomando anti-derivados en ambos lados con los que terminamos
[matemáticas] – \ frac {1} {y ‘} = \ cos (y) + C [/ matemáticas], o
[matemática] y ‘= \ frac {1} {- \ cos (y) + C} [/ matemática] que puede resolverse mediante variables separadas:
[matemáticas] (- \ cos (y) + C) dy = dt [/ matemáticas] resultante

[matemáticas] – \ sin (y) + C_1y + C_2 = t [/ matemáticas]