¿Por qué las ecuaciones diferenciales se usan más comúnmente que las ecuaciones integrales?

Answer 1

Creo que ya hay algunas buenas respuestas. Solo reiteraré lo que creo que es importante y agregaré mi opinión al respecto. También gracias por A2A.

1) Es más fácil formular ecuaciones en la ciencia de esta manera.

En los problemas científicos, generalmente nos preocupa cómo cambian las cosas en el tiempo o en el espacio. Dado que los derivados representan el cambio en una función, aparecen de forma natural.

2) La notación es más fácil.

El ejemplo clásico es el sistema de resorte y masa. Para un resorte, la fuerza es una función de la posición ([matemática] x [/ matemática]) dada por [matemática] f = kx [/ matemática]. La aceleración ([matemática] a [/ matemática]) es la segunda derivada de la posición, por lo que [matemática] f = ma [/ matemática] se convierte en [matemática] kx = m \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} [/ matemáticas]. Si quisiéramos, podríamos escribir esto como [matemática] k \ left (\ int_0 ^ t \ left [\ int_0 ^ \ tau ad \ omega + v_0 \ right] d \ tau + x_0 \ right) = ma [/ math ] pero eso se ve realmente feo. ([matemática] x_0, v_0 [/ matemática] son ​​la posición inicial y la velocidad, respectivamente). Se necesita mucho más espacio y tenemos que llevar explícitamente nuestras condiciones iniciales con nosotros durante todo el cálculo.

3) Los derivados son operadores locales.

Vimos en (2) que para conocer la posición desde la aceleración, tenemos que hacer una integral sobre el historial completo de la aceleración para obtener la posición. Si queremos pasar de la posición a la aceleración, simplemente tomemos la derivada en un punto dos veces.

4) Soluciones aproximadas en términos de series.

Alguien más señaló algo sobre las funciones elementales. Es cierto que la diferenciación para funciones suaves es bastante formula. Ahora suponga que puede demostrar que su función de solución puede aproximarse mediante una serie de funciones elementales con coeficientes desconocidos, por ejemplo, polinomios para series de Taylor o funciones trigonométricas para series de Fourier. Como la diferenciación es simple, podemos sustituir directamente nuestra aproximación en la ecuación diferencial y tomar las derivadas apropiadas de nuestra aproximación. Esto producirá un montón de relaciones algebraicas para los coeficientes desconocidos que se pueden resolver.

Answer 2

Principalmente debido al hecho de que una derivada (de varios órdenes también) puede interpretarse más fácilmente como un elemento geométrico, mientras que las integrales pueden carecer de esto en órdenes superiores.

Por ejemplo, la derivada de una función es siempre su tasa de cambio con respecto a alguna variable.

Hay una razón más: podemos resolver todas las derivadas de funciones elementales (si mi memoria me sirve bien), usando solo tres conceptos hermosos: la regla del producto, la regla de la cadena, la regla del cociente y la ley conmutativa.

Casi no existen tales reglas generales para integrales, el único presente es la ley conmutativa. Existe, por ejemplo, integración por partes, pero eso se basa completamente en la regla del producto a la inversa.

Entonces, ¿por qué ecuaciones diferenciales? Respuesta: Menos molestia.

Editar: me gustaría señalar que, en la mayoría de los casos, un DE puede escribirse como un IE, y viceversa. Sin embargo, es mucho más fácil derivar el DE desde un punto de vista físico.