¿Cómo se resuelve [matemáticas] x = 2 \ ln (x) [/ matemáticas]?

Answer 1

No tiene una solución real, solo una solución compleja.

El enfoque para resolverlo en un espacio complejo es usar la función Lambert W, que es la función inversa para y = x exp (x). La resolución de la ecuación anotada anteriormente es x = W (y), donde W es la función Lambert W. Avancemos y muestremos nuestro trabajo aquí:

[matemáticas] x = 2 \ ln (x) [/ matemáticas]

Use [math] a \ times \ ln (x) = \ ln (x ^ a) [/ math] para obtener
[matemáticas] x = \ ln \ izquierda (x ^ 2 \ derecha) [/ matemáticas]

Toma el exponente de ambos lados:
[matemáticas] \ exp (x) = \ exp (\ ln \ left (x ^ 2 \ right)) [/ math]

use [math] \ exp (\ ln (a)) = a [/ math]:
[matemáticas] \ exp (x) = x ^ 2 [/ matemáticas]

[actualización: se corrigió un error que comenzó después de este punto, el siguiente trabajo ahora es correcto]

Toma la raíz cuadrada de ambos lados, dando
[matemáticas] \ exp \ left (\ frac {x} {2} \ right) = \ pm x [/ math]

Divide ambos lados entre [matemáticas] \ exp \ izquierda (\ frac {x} {2} \ derecha) [/ matemáticas], dando
[matemáticas] 1 = \ pm x \ exp \ left (\ frac {x} {2} \ right) [/ math]

Multiplica ambos lados por [matemáticas] \ pm 1/2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ pm 1/2 = – \ frac {x} {2} \ exp \ left (\ frac {x} {2} \ right) [/ math]

Ahora está la función Lambert W en acción. Use [math] y (x) = f (x) \ exp (f (x)) [/ math] se invierte a [math] f (x) = W (y (x)) [/ math], usando [math ] f (x) = – \ frac {x} {2} [/ math] y [math] y (x) = \ pm 1/2 [/ math], dándote

[matemáticas] – \ frac {x} {2} = W (1/2) o W (-1/2) [/ matemáticas]

dejándonos con [matemáticas] x = -2W (1/2) o -2W (-1/2) [/ matemáticas]

Answer 2

Sería interesante ver primero qué valores de a, la pregunta podría tener una solución real.

Deje f (x) = x, y g (x) = a * ln (x)

ln (x) solo tiene sentido x> 0,

Cerca de x = 0,
f (x) = 0 yg (x) = + inf si a <0 o -inf si a> 0

En x = 1,
f (x) = 1 y g (x) = 0, f ‘(x) = 1 y g’ (x) = a / x

Entonces, si a <0, tiene que existir una solución real para la ecuación x = a * ln (x), entre x = 0 y x = 1 como x a * ln (x) en x = 1 y tanto x como a * ln (x) son continuos entre 0 y 1.

Ahora consideremos el caso a> 0

de x = 1 a x = a,
f ‘(x) En x = 0, f (x) -g (x) es 1 y alcanza su valor mínimo en x = a, porque para x> a, f ‘(x)> g’ (x).
Entonces, si f (x) -g (x) <= 0 en x = a, existe una solución real, ya que implicaría en algún punto entre x = 0 y x = a, f (x) -g (x) fue 0 , lo que significa que x, f (x) = g (x).
El caso límite sería f (x) = g (x) en x = a, es decir a = a * ln (a), la solución a esto es claramente a = e.

Por lo tanto, existe una solución real para x = a * ln (x) solo para a <0 y o a> = e. Por lo tanto, no existe una solución real para x = 2 * ln (x).

Answer 3

Aquí está el mínimo de álgebra requerido para darle una solución. Un enfoque similar en otra respuesta da dos soluciones, pero solo una funciona a menos que comience a buscar el valor no principal del Lambert W.
[matemáticas] x = 2 \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac x 2 = \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ frac x 2} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac 1 2 e ^ {\ frac x 2} = \ frac x 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac 1 2 = \ frac x 2 e ^ {- \ frac x 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac 1 2 = – \ frac x 2 e ^ {- \ frac x 2} [/ matemáticas]

Ahora aplicamos la función Lambert W a ambos lados porque es el inverso de la función en el lado derecho cuando el argumento es [math] – \ frac x 2 [/ math].

[matemática] W \ izquierda (- \ frac 1 2 \ derecha) = – \ frac x 2 [/ matemática]

[matemáticas] -2 W \ izquierda (- \ frac 1 2 \ derecha) = x [/ matemáticas]

Answer 4

La gráfica de y = x / ln (x), donde x> 0) tiene una asíntota vertical en x = 1 con un mínimo de e en x = e. Para 0 Para x> 1 y es positivo y tiene dos valores. Así, la ecuación x = a ln (x) tiene una solución si a <0, no tiene raíces reales para 0 e.

Al trazar la gráfica de y = x / ln (x), se pueden encontrar las soluciones de x = a ln (x), siempre que se cumpla la condición 0

El caso cuando a = 2, no tiene raíces reales.

Para a = 3, las soluciones de x = 3 ln (x) son 1.85718386 y 4.536403655

Para a = -3, la solución es x = 0.772882959

Answer 5

Dibuja las gráficas de y = x / 2 e y = ln (x) en la misma escala. (Solo necesita lápiz y papel para eso, no WolframAlpha). Para que x / 2 sea igual a ln (x) para algún valor de x, las gráficas de x / 2 y ln (x) deben cruzarse en algún punto, porque el valor de la función es igual allí. Al dibujar, encontrará que no se cruzan, por lo que no hay solución.

Definitivamente puedes dibujar y = x / 2. Es ln (x) que es un poco complicado. Bueno, recuerde que ln (x), cuando se acerca a 0 desde la derecha, tiende al infinito negativo. En x = 1, y = ln (x) = 0, y en x = e, que es algo cercano a 2.7, y = ln (x) = 1. Simplemente conecte los puntos con una curva continua, porque ya sabe cómo se debe ver ln (x), aproximadamente. Para x = 0 a x = e, ln (x) está debajo de la curva para x / 2. Ahora, diferencie ambas funciones en x = e. La tasa de cambio de x / 2 es e / 2 aquí, pero la de ln (x) es 1 / e, que es menor que e / 2. Además, a medida que avanzamos hacia la derecha, la pendiente de ln (x) se hace cada vez más pequeña, mientras que la de x / 2 se hace más y más grande. Entonces, concluimos que ln (x) está por debajo de x / 2 para empezar y no tiene una tasa de cambio suficiente de su valor para alcanzar a x / 2. Por lo tanto, ln (x) nunca se encontrará con x / 2.

Answer 6

Primero comencemos con ingresarlo a Wolfram Alpha, solo para obtener nuestro resultado.
x = 2ln (x) – Wolfram | Alpha
Utiliza la función de registro del producto. ¡Ay!
(la función de registro del producto W (z) se define como la inversa de xe ^ x)

No lo intentes