Matemáticas: ¿Qué significa Nabla Dot-product Matrix?

Answer 1

[matemáticas] \ nabla = \ frac {\ partial} {\ partial x} \ vec {i} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ vec {j} + \ frac {\ partial} {\ partial z } \ vec {k} = \ left (\ frac {\ partial} {\ partial x}, \ frac {\ partial} {\ partial y}, \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vec {A} = a1 \ cdot \ vec {i} + a2 \ cdot \ vec {j} + a3 \ cdot \ vec {k} = (a1, a2, a3) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec {A} = (\ frac {\ partial} {\ partial x}, \ frac {\ partial} {\ partial y}, \ frac {\ partial} {\ partial z}) \ cdot (a1, a2, a3) [/ math] = [math] \ frac {\ partial a1} {\ partial x} + \ frac {\ partial a2} {\ partial y} + \ frac {\ partial a3} {\ parcial z} [/ matemáticas]

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Aquí, [math] \ mathbf {P} = \ left [{\ begin {matrix}
\ sigma _ {xx} y \ sigma _ {xy} y \ sigma _ {xz} \\
\ sigma _ {yx} y \ sigma _ {aa} y \ sigma _ {yz} \\
\ sigma _ {zx} y \ sigma _ {zy} y \ sigma _ {zz} \\
\ end {matrix}} \ right]
[/ math] = [math] \ left [{\ begin {matrix}
\ sigma _x y \ tau _ {xy} y \ tau _ {xz} \\
\ tau _ {yx} & \ sigma _y & \ tau _ {yz} \\
\ tau _ {zx} y \ tau _ {zy} y \ sigma _z \\
\ end {matrix}} \ right] [/ math]
[math] \ nabla _ {3 \ times1} \ cdot \ mathbf P_ {3 \ times 3} + \ mathbf {f} _ {3 \ times 1} = 0 [/ math]

Entonces la fórmula original puede significar que
[math] \ nabla _ {3 \ times1} \ cdot \ mathbf P_ {x \ _} + \ mathbf {f} _ {x} = 0 [/ math]
[matemáticas] \ nabla _ {3 \ veces1} \ cdot \ mathbf P_ {y \ _} + \ mathbf {f} _ {y} = 0 [/ matemáticas]
[math] \ nabla _ {3 \ times1} \ cdot \ mathbf P_ {z \ _} + \ mathbf {f} _ {z} = 0 [/ math].

[matemáticas] \ nabla \ cdot [\ sigma _ {xx}, \ sigma _ {xy}, \ sigma _ {xz}] + \ mathbf {f} _ {x} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ nabla \ cdot [\ sigma _ {yx}, \ sigma _ {yy}, \ sigma _ {yz}] + \ mathbf {f} _ {y} = 0 [/ matemáticas]
[math] \ nabla \ cdot [\ sigma _ {zx}, \ sigma _ {zy}, \ sigma _ {zz}] + \ mathbf {f} _ {z} = 0 [/ math].

[matemáticas] \ frac {\ partial \ sigma _ {xx}} {\ partial x} + \ frac {\ partial \ sigma _ {xy}} {\ partial y} + \ frac {\ partial \ sigma _ {xz} } {\ parcial z} + f_ {x} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ partial \ sigma _ {yx}} {\ partial x} + \ frac {\ partial \ sigma _ {yy}} {\ partial y} + \ frac {\ partial \ sigma _ {yz} } {\ parcial z} + f_ {y} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ partial \ sigma _ {zx}} {\ partial x} + \ frac {\ partial \ sigma _ {zy}} {\ partial y} + \ frac {\ partial \ sigma _ {zz} } {\ parcial z} + f_ {z} = 0 [/ matemáticas]

Con suerte, esto ayudará.

Answer 2

Eso no es una matriz, es un tensor: el tensor de estrés de Cauchy , generalmente escrito como [math] \ boldsymbol {\ sigma} [/ math]. Tiene 9 componentes y puede representarse como una matriz de 3 por 3. Los componentes son [math] \ sigma ^ {ij} [/ math] donde [math] i, j [/ math] son ​​índices que van del 1 al 3.

La notación [math] \ boldsymbol {\ nabla} \ cdot \ boldsymbol {\ sigma} [/ math] debe leerse “la divergencia del tensor de estrés” y puede escribirse en componentes como [math] \ partial_ {i} \ sigma ^ {ij} [/ math], donde una suma en el índice [math] i [/ math] de 1 a 3 está implícita.

Entonces, una ecuación como [math] \ boldsymbol {\ nabla} \ cdot \ boldsymbol {\ sigma} = \ boldsymbol {0} [/ math] puede escribirse en componentes como [math] \ partial_ {i} \ sigma ^ { ij} = 0 [/ math] y de hecho son 3 ecuaciones, una para cada valor de [math] j [/ math], cada una con una suma de 3 derivadas para los 3 valores diferentes de [math] i [/ matemáticas]. Por ejemplo, la ecuación correspondiente a [matemáticas] j = 1 [/ matemáticas] es:
[math] \ partial_ {1} \ sigma ^ {11} + \ partial_ {2} \ sigma ^ {21} + \ partial_ {3} \ sigma ^ {31} = 0. [/ math]

(Ahora te das cuenta de por qué hay un cuadro en ese artículo que dice “Esta sección puede ser confusa o poco clara para los lectores” …)