Cómo encontrar la solución general de la siguiente ecuación de oscilador armónico

Answer 1

Busca soluciones de la forma: [matemáticas] x (t) = e ^ {st} [/ matemáticas]. Conectar esto a la ecuación le dice que [math] s [/ math] debe ser una raíz de la ecuación cuadrática [math] s ^ 2 + s + 1 = 0 [/ math] (que se llama el polinomio característico).

Resolver ese cuadrático da:

[matemáticas] s = – \ frac 1 2 \ pm i \ frac {\ sqrt 3} 2 [/ matemáticas].

Entonces sabes que hay dos soluciones que se pueden escribir con un exponencial complejo como:

[matemáticas] x_1 (t) = e ^ {t \ left (- \ frac 1 2 + i \ frac {\ sqrt 3} 2 \ right)} [/ math]

[matemáticas] x_2 (t) = e ^ {t \ left (- \ frac 1 2 – i \ frac {\ sqrt 3} 2 \ right)} [/ math]

Como la ecuación es lineal, podemos tomar una combinación lineal de estas soluciones para obtener:

[matemáticas] x (t) = k_1 e ^ {t \ left (- \ frac 1 2 + i \ frac {\ sqrt 3} 2 \ right)} + k_2 e ^ {t \ left (- \ frac 1 2 – i \ frac {\ sqrt 3} 2 \ right)} [/ math]
para constantes arbitrarias [matemáticas] k_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] k_2 [/ matemáticas]

Pero a la gente realmente no le gusta ver soluciones a ecuaciones reales valoradas que usan exponenciales complejos. Suponiendo que sus condiciones iniciales son reales, podemos eliminar todas las partes imaginarias de esta solución haciendo uso de la relación entre exponenciales complejos y funciones trigonométricas. Entonces, a partir de la forma de los exponenciales complejos, reconocemos que podríamos haber utilizado las soluciones linealmente independientes valoradas reales:

[matemáticas] \ hat x_1 (t) = e ^ {- \ frac t 2} \ cos \ left (\ frac {t \ sqrt {3}} 2 \ right) [/ math]
y
[matemática] \ hat x_2 (t) = e ^ {- \ frac t 2} \ sin \ left (\ frac {t \ sqrt {3}} 2 \ right) [/ math]

Entonces la solución general viene dada por:
[matemáticas] x (t) = c_1 e ^ {- \ frac t 2} \ cos \ left (\ frac {t \ sqrt {3}} 2 \ right) + c_2e ^ {- \ frac t 2} \ sin \ left (\ frac {t \ sqrt {3}} 2 \ right) [/ math]
para constantes reales arbitrarias [math] c_1 [/ math] y [math] c_2 [/ math].