¿Cómo encajan funciones especiales como la de Bessel y Neumman en la mecánica cuántica?

Answer 1

Los cálculos en mecánica cuántica, y física en general, generalmente implican resolver ecuaciones diferenciales.

Ciertas ecuaciones diferenciales son más comunes que otras y se aplican a una amplia gama de sistemas físicos diferentes. Las funciones que son las soluciones a estas ecuaciones diferenciales especiales se consideran lo suficientemente importantes como para recibir nombres específicos (por ejemplo, funciones de Bessel).

Una vez que selecciona una función tan especial, puede estudiarla para descubrir varias propiedades que puede tener (por ejemplo, su comportamiento asintótico, relación de ortogonalidad, etc.) y encontrar otras definiciones equivalentes (por ejemplo, como una serie de potencia o integral).

Por supuesto, lo que dije no es históricamente exacto, ya que no todas las funciones especiales comenzaron como soluciones para ecuaciones diferenciales; pero mi punto era explicar por qué aparecen tan a menudo en soluciones a problemas de física. No es una coincidencia, aparecen en las soluciones porque las soluciones son lo suficientemente importantes como para recibir nombres especiales (y si no fueran lo suficientemente importantes, probablemente no se darían en un curso / libro de texto).

Answer 2

La ecuación de Schrodinger para un potencial dado es una ecuación diferencial parcial que obedece a una condición límite dada. Tales problemas son descritos por la teoría de Sturm-Liouville (teoría de Sturm-Liouville) y explican por qué surgen tanto en mecánica cuántica:

• La solución de problemas de tipo SL es una base de valor propio. La ecuación de Schrodinger es un problema de valor propio de las energías.
• La solución de los problemas de tipo SL son ortonormales. Las funciones propias son energías distintas (piense en orbitales en el potencial de Coulomb).
• Ciertas geometrías (cilíndricas para Bessel / esféricas para Legendre) conducen a fórmulas del Laplaciano que tienen cierta forma de Sturm-Liouville.

Si bien la mecánica cuántica es un lugar común para cumplir primero con estas ecuaciones, tienden a surgir en cualquier ecuación de onda (fluidos, electrodinámica) que tenga una forma laplaciana similar con condiciones límite similares.

Answer 3

En las ecuaciones de QM, cualquier cantidad medible (variable dinámica), por ejemplo, posición, momento lineal, energía total, momento angular total, componente z del momento angular, se representa matemáticamente por un operador diferencial lineal, autoadjunto. Puede pensar en estos colectivamente como operadores hermitianos, con valores propios reales. (Estos también se conocen como operadores Sturm-Liouville).

Los operadores hermitianos son de especial importancia en el cálculo de los valores esperados, los posibles valores obtenidos por una medición física, de una variable dinámica.

Como las funciones de Bessel y Neumann son funciones propias de los operadores hermitianos, comúnmente ocurren en los cálculos de QM.