¿Qué significa decir que las soluciones de una ecuación diferencial lineal forman un espacio vectorial?

Answer 1

Un espacio vectorial es un conjunto de “cosas” que puede “sumar” y “escalar”. Para ser un espacio vectorial, las cosas y la forma en que se agregan y escalan deben satisfacer algunos axiomas enumerados aquí: Espacio vectorial.

Probablemente, el primer espacio vectorial sobre el que aprenda sean las “flechas” en el plano xy que van desde el origen a cualquier punto (x, y). Puede agregar “flechas” juntas, por ejemplo, el vector a (a, b) más el vector a (c, d) es la flecha desde el origen a (a + c, b + d). Puede escalar “flechas”, por ejemplo, si desea escalar el vector desde el origen a (a, b) por la constante c, obtiene el vector desde el origen hasta el punto (ca, cb). Estas “flechas” escalables y añadibles satisfacen todos los requisitos para un espacio vectorial.

Pero no son las únicas cosas que hacen. Flechas en 3 dimensiones desde el origen hasta los puntos de la forma (x, y, z) con las ideas habituales de agregar y multiplicar también el trabajo. Pero también lo hacen cosas que no son como flechas en el espacio euclidiano. Como resultado, el conjunto de todas las soluciones de una EDO homogénea lineal con coeficientes constantes es uno de esos conjuntos que no se parece en nada a los vectores en el espacio euclidiano, sino que son un espacio vectorial. ¿Como funciona esto?

Una solución a la ecuación es ahora un vector. Dados dos vectores (es decir, soluciones) en el espacio, puede sumarlos y obtener un vector en el espacio. ¿Por qué? Porque la suma de cualquiera de las dos soluciones debe ser una solución. (Esa es una propiedad REALMENTE importante de las odas homogéneas lineales y no es demasiado difícil de mostrar. Debería mostrarla usted mismo si aún no la ha visto). Además, dado un vector (es decir, una solución) en el espacio, puede multiplíquelo por una constante y obtenga otro vector en el espacio. Nuevamente, esa es una propiedad realmente importante de tales ecuaciones que no es difícil de mostrar.

Es extraño pensar en las funciones como vectores si solo estás acostumbrado a pensar en puntos en el espacio euclidiano como vectores, pero las funciones también pueden ser vectores. Lo realmente bueno de los espacios vectoriales es que la intuición que construyes trabajando en el espacio euclidiano se extiende muy naturalmente a otros espacios también.

Por ejemplo, en el plano xy, a menudo usamos los vectores para los puntos (1,0) y (0,1) como “base”. Luego nos damos cuenta de que podemos escribir cualquier otro vector como una “combinación lineal” de nuestros dos vectores básicos. Entonces, si bien hay infinitos vectores en el plano (x, y), en realidad solo hay dos dimensiones (es decir, cuánto necesito de la primera base y cuánto necesito de la segunda base). Algo muy similar es cierto con las EDO lineales. Si la ecuación es una ecuación de segundo orden (es decir, la derivada más alta es una segunda derivada), entonces si bien hay infinitas soluciones para dicha ecuación, realmente solo necesitamos encontrar dos soluciones (que no sean un múltiplo constante entre sí) ) para servir de base. Entonces, cualquier otra solución puede escribirse como una combinación lineal de estos dos. Entonces, aunque hay infinitos vectores y aunque los vectores son funciones, en cierto modo, el espacio de todas las soluciones es realmente solo bidimensional. (¿Qué cantidad de la solución de primera base y qué cantidad de la solución de segunda base se necesitan para hacer cualquier otra solución?)

Las EDO lineales homogéneas de tercer orden tienen tres “vectores básicos”, por lo que el espacio de todas las soluciones es tridimensional. Las ecuaciones de primer orden definen un espacio vectorial unidimensional.

Hay otras conexiones interesantes con lo que probablemente entiendas sobre los vectores, ¡pero esta respuesta ya se ha hecho demasiado larga!

Answer 2

Un conjunto de pares ordenados ( v 1 , v 2 , …, vn ) ∈ V que podrían ser las soluciones de la ecuación diferencial lineal en la mano, dotado de la suma vectorial V × V → V; (es decir, un elemento que el espacio agrega (‘ ×’ ) con otro elemento del espacio para dar un elemento en el mismo espacio); y la multiplicación escalar R • V → V (donde R es el conjunto de números reales cuando se multiplica (‘ •’ ) con cualquier elemento del espacio para producir un elemento en el mismo espacio) se dice que forma un espacio vectorial si lo siguiente los axiomas están satisfechos:

1. u × v = v × u
2. u × (v × w) = (u × v) × w
3. Existe un cero, tal que u × 0 = 0 × u = u
4. Existe un inverso, tal que u × (-u) = (-u) × u = 0
5. λ • (u × v) = λ • u × λ • v
6. ( λ × δ ) • u = λ • u × δ • u
7. λ • ( δ • u) = λ δ • (u)
8. u • 1 = u

Donde u, v, w ∈ V y λ , δ ∈ R. Cualquier espacio que satisfaga los axiomas anteriores de (i) a (viii) forma un espacio vectorial y los elementos u, v, w son vectores en el espacio V. Entonces, al definir un espacio vectorial, se está definiendo un conjunto de axiomas (tenga en cuenta que ‘ × ‘ se define como suma de vectores y ‘ • ‘ se define como operación de multiplicación escalar) para que exista un espacio lineal. Por lo tanto, en este espacio, estamos dotando a todas las operaciones lineales posibles en este espacio.

Avíseme si tiene más aclaraciones sobre el espacio vectorial o sus subespacios.

🙂

Answer 3

Significa que cualquier combinación lineal de soluciones es otra solución. De manera equivalente, (1) la suma de cualquiera de las dos soluciones es otra y (2) las constantes veces que una solución es otra.

Por ejemplo, las soluciones de la ecuación diferencial [matemáticas] y ” = – y [/ matemáticas] son ​​funciones de la forma

[matemáticas] y = A \ cos t + B \ sen t [/ matemáticas]

donde [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] son ​​constantes. Esas soluciones forman un espacio vectorial. Una base para ese espacio vectorial consiste en las dos funciones [matemáticas] \ cos t [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sen t. [/ Matemáticas]

No siempre es el caso que las soluciones a una ecuación diferencial arbitraria formen un espacio vectorial, pero las soluciones a una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes sí forman un espacio vectorial.

Answer 4

Un espacio vectorial tiene 10 propiedades formales con respecto al cierre, la conmutatividad, la asociatividad, la distributividad de las operaciones y la existencia de sus elementos. Demasiado para escribir, así que léalo aquí Página en ups.edu.